\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão Considere o sistema linear (S): A \mathbf{X}=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right].
(a) (1.5 pts) Verifique que ( S ) não possui solução e encontre todas as soluções de mínimos quadrados de (S).
(b) (1.0 pt) Dentre os vetores \mathbf{x} encontrados em (a), encontre aquele cuja norma \|\mathbf{x}\| é mínima.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema sobredeterminado (S)\colon A\mathbf X=\mathbf b, com
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.
O conteúdo é ajuste por mínimos quadrados, pois há mais equações que incógnitas. Vamos verificar a inexistência de solução exata e, em seguida, resolver as equações normais para encontrar todas as soluções de mínimos quadrados.

Passo 2

Verificamos que as linhas 3 e 4 de A são idênticas, mas b_{3}=2\neq -2=b_{4}. Portanto não existe \mathbf X tal que A\mathbf X=\mathbf b, ou seja, (S) é incompatível.

Passo 3

Para as soluções de mínimos quadrados resolvemos as equações normais
A^{T}A\,\mathbf x = A^{T}\mathbf b.
Calculamos
A^{T}A = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 8\\\\ 4 & 10 & 14\\\\ 8 & 14 & 22 \end{pmatrix}, \quad A^{T}\mathbf b = \begin{pmatrix}4\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix}.
Assim o sistema fica
\begin{cases} 4x_{1}+4x_{2}+8x_{3}=4,\\\\ 4x_{1}+10x_{2}+14x_{3}=-2,\\\\ 8x_{1}+14x_{2}+22x_{3}=2. \end{cases}
Dessas equações, a primeira dá x_{1}+x_{2}+2x_{3}=1, e subtraindo convenientemente percebe-se que as outras duas geram a mesma relação x_{2}+x_{3}=-1.

Passo 4

Das relações
x_{1}+x_{2}+2x_{3}=1, \quad x_{2}+x_{3}=-1,
usamos parâmetro t=x_{3}. Então
x_{2}=-1-t, \quad x_{1}=1 - x_{2} - 2x_{3} =1 -(-1-t)-2t =2 - t.
Logo todas as soluções de mínimos quadrados são
\mathbf x(t) =\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 - t\\\ -1 - t\t\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb R.

Passo 5

Para achar a solução de norma mínima minimizamos
\|\mathbf x(t)\|^{2} =(2-t)^{2}+(-1-t)^{2}+t^{2} =3t^{2}-2t+5.
Derivando em t e igualando a zero:
\frac{d}{dt}(3t^{2}-2t+5)=6t-2=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\tfrac13.
Substituindo em \mathbf x(t), obtemos
\mathbf x_{\min} =\mathbf x\!\bigl(\tfrac13\bigr) =\begin{pmatrix}2-\tfrac13\\\ -1-\tfrac13\\tfrac13\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac53\\\ -\tfrac43\\tfrac13\end{pmatrix}.

Resposta

(a) O sistema não é resolúvel (linhas idênticas com termos independentes diferentes). As soluções de mínimos quadrados são
\displaystyle \mathbf x(t)=(2 - t,\,-1 - t,\,t)^{T}, t\in\mathbb R.
(b) A de menor norma é
\displaystyle \mathbf x_{\min}=(\tfrac53,\,-\tfrac43,\,\tfrac13)^{T}.

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