\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão Considere o sistema linear (S): A \mathbf{X}=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right].
(a) (1.5 pts) Verifique que ( S ) não possui solução e encontre todas as soluções de mínimos quadrados de (S).
(b) (1.0 pt) Dentre os vetores \mathbf{x} encontrados em (a), encontre aquele cuja norma \|\mathbf{x}\| é mínima.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema sobredeterminado (S)\colon A\mathbf X=\mathbf b, com
O conteúdo é ajuste por mínimos quadrados, pois há mais equações que incógnitas. Vamos verificar a inexistência de solução exata e, em seguida, resolver as equações normais para encontrar todas as soluções de mínimos quadrados.
Passo 2
Verificamos que as linhas 3 e 4 de A são idênticas, mas b_{3}=2\neq -2=b_{4}. Portanto não existe \mathbf X tal que A\mathbf X=\mathbf b, ou seja, (S) é incompatível.
Passo 3
Para as soluções de mínimos quadrados resolvemos as equações normais
(a) O sistema não é resolúvel (linhas idênticas com termos independentes diferentes). As soluções de mínimos quadrados são \displaystyle \mathbf x(t)=(2 - t,\,-1 - t,\,t)^{T}, t\in\mathbb R.
(b) A de menor norma é \displaystyle \mathbf x_{\min}=(\tfrac53,\,-\tfrac43,\,\tfrac13)^{T}.