Exercício 5.5.5. Seja V um espaço vetorial de dimensão n e \beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base ordenada de V.
Mostre que para quaisquer v, w \in V e escalares a, b \in \mathbb{R} temos a v+b w]_{\beta}=a .[v]_{\beta}+b[w]_{\beta}\).

Passo 1

O enunciado pede para provar a linearidade do mapa de coordenadas relativo à base ordenada \beta=\{v_{1},\dots,v_{n}\} de um espaço vetorial V de dimensão n. Em outras palavras, mostrar que dadas quaisquer vetores v,w\in V e escalares a,b\in\mathbb{R}, vale
[a\,v + b\,w]_{\beta} \;=\; a\,[v]_{\beta} \;+\; b\,[w]_{\beta}.
Para isso, vamos usar a definição de coordenadas: escrever v e w como combinação linear da base \beta.

Passo 2

Como \beta é base de V, existem escalares x_{1},\dots,x_{n} tais que
v \;=\; x_{1}\,v_{1} \;+\; x_{2}\,v_{2} \;+\;\cdots+\; x_{n}\,v_{n}.
Por definição, a coordenada de v em relação a \beta é o vetor coluna
[v]_{\beta} \;=\; \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ \vdots\\\ x_{n} \end{pmatrix}.

Passo 3

Do mesmo modo, existem escalares y_{1},\dots,y_{n} tais que
w \;=\; y_{1}\,v_{1} \;+\; y_{2}\,v_{2} \;+\;\cdots+\; y_{n}\,v_{n},
e
[w]_{\beta} \;=\; \begin{pmatrix} y_{1}\\\ y_{2}\\\ \vdots\\\ y_{n} \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora consideramos a combinação a\,v + b\,w. Substituindo as expressões em coordenadas:
a\,v + b\,w =\; a\sum_{i=1}^{n}x_{i}v_{i} \;+\; b\sum_{i=1}^{n}y_{i}v_{i} =\; \sum_{i=1}^{n}\bigl(a\,x_{i} + b\,y_{i}\bigr)\,v_{i}.

Passo 5

Pela definição de coordenadas, o vetor a\,v+b\,w tem coordenadas
[a\,v + b\,w]_{\beta} = \begin{pmatrix} a\,x_{1} + b\,y_{1}\\\ a\,x_{2} + b\,y_{2}\\\ \vdots\\\ a\,x_{n} + b\,y_{n} \end{pmatrix}.
Mas isso é exatamente
a \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ \vdots\\\ x_{n} \end{pmatrix} \;+\; b \begin{pmatrix} y_{1}\\\ y_{2}\\\ \vdots\\\ y_{n} \end{pmatrix} \;=\; a\,[v]_{\beta} \;+\; b\,[w]_{\beta}.

Resposta

[a\,v + b\,w]_{\beta} \;=\; a\,[v]_{\beta} \;+\; b\,[w]_{\beta}.

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