3{ }^{\mathbf{a}} Questão Considere o espaço vetorial \mathscr{P}_{4} munido do produto interno
\left\langle a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}+a_{4} t^{4}, b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+b_{3} t^{3}+b_{4} t^{4}\right\rangle=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}+a_{4} b_{4}.
Seja W \subset \mathscr{P}_{4} o subespaço vetorial gerado pelos polinômios q_{1}(t)=1-t+t^{4} e q_{2}(t)=t^{3}+t^{4}.
(a) (1.5 pts) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal W^{\perp}.
(b) (1.0 pt) Encontre o polinômio de W^{\perp} que está mais próximo do polinômio p(t)=t+t^{2}.
(c) ( 0.5 pts) Encontre as componentes p_{1}(t) \in W e p_{2}(t) \in W^{\perp} do polinômio p(t) de (b) com respeito à decomposição \mathscr{P}_{4}=W \oplus W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial \mathscr{P}_{4} das polinômios de grau <=4, com o produto interno
\langle p,q\rangle = \sum_{i=0}^{4} a_i b_i
se p(t)=\sum a_i t^i e q(t)=\sum b_i t^i. Definimos o subespaço
W = \operatorname{span}\{q_1,q_2\},
onde
q_{1}(t)=1 - t + t^{4},\quad q_{2}(t)=t^{3}+t^{4}.
Precisamos:
(a) uma base ortogonal de W^{\perp};
(b) a projeção de p(t)=t+t^2 em W^{\perp};
(c) as componentes p_1\in W e p_2\in W^{\perp} de p.

Passo 2

Para achar W^{\perp} resolvemos
\langle v,q_1\rangle =0,\quad \langle v,q_2\rangle=0,
se v(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4.
Isso dá
a_0 - a_1 + a_4 = 0, \quad a_3 + a_4 = 0.
Logo a_4 = -a_0 + a_1 e a_3 = -a_4 = a_0 - a_1. Tomando parâmetros \alpha=a_0,\beta=a_1,\gamma=a_2,
v(t)=\alpha\bigl(1 + t^3 - t^4\bigr) +\beta\bigl(t - t^3 + t^4\bigr) +\gamma\,t^2.
Uma base qualquer de W^{\perp} é
m_1 = 1 + t^3 - t^4,\quad m_2 = t - t^3 + t^4,\quad m_3 = t^2.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em \{m_1,m_2,m_3\}.
Verifica-se que m_3 já é ortogonal a m_1,m_2. Além disso
\langle m_1,m_2\rangle = -2, \quad \langle m_1,m_1\rangle = 3.
Definimos
u_1 = m_1, \quad u_2 = m_2 - \frac{\langle m_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 = m_2 + \frac{2}{3}\,m_1.
Para eliminar frações, substituímos b_2=3\,u_2. Assim obtemos a base ortogonal
b_1 = 1 + t^3 - t^4, \quad b_2 = 2 + 3t - t^3 + t^4, \quad b_3 = t^2.

Passo 4

A projeção de p(t)=t+t^2 em W^{\perp} é
p_2 = \sum_{i=1}^{3} \frac{\langle p,b_i\rangle}{\langle b_i,b_i\rangle}\,b_i.
Calculamos:
\langle p,b_1\rangle=0,\quad \langle p,b_2\rangle=3,\quad \langle p,b_3\rangle=1,
\langle b_2,b_2\rangle=15, \quad \langle b_3,b_3\rangle=1.
Logo
p_2 = \frac{3}{15}\,b_2 + 1\cdot b_3 = \frac{1}{5}\bigl(2+3t - t^3 + t^4\bigr) + t^2 = \tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{5}t + t^2 - \tfrac{1}{5}t^3 + \tfrac{1}{5}t^4.

Passo 5

A componente em W é p_1 = p - p_2. Subtraindo coeficiente a coeficiente,
p_1(t) = -\tfrac{2}{5} + \tfrac{2}{5}t + 0\cdot t^2 + \tfrac{1}{5}t^3 - \tfrac{1}{5}t^4.
Confirma-se que p_1\in W (basta escrever p_1 = \alpha q_1 + \beta q_2 com \alpha=-2/5, \beta=1/5).

Resposta

(a) Uma base ortogonal de W^{\perp} é
\{\,1 + t^3 - t^4,\;2 + 3t - t^3 + t^4,\;t^2\}.
(b) O polinômio de W^{\perp} mais próximo de p(t)=t+t^2 é
p_2(t)=\tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{5}t + t^2 - \tfrac{1}{5}t^3 + \tfrac{1}{5}t^4.
(c) As componentes na decomposição p=p_1+p_2 são
p_1(t)=-\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{5}t+\tfrac{1}{5}t^3-\tfrac{1}{5}t^4\quad(p_1\in W), \quad p_2(t)=\tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{5}t + t^2 - \tfrac{1}{5}t^3 + \tfrac{1}{5}t^4\quad(p_2\in W^{\perp}).

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