Questão Considere o espaço vetorial
munido do produto interno
.
Seja
o subespaço vetorial gerado pelos polinômios
e
.
(a) (1.5 pts) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal
.
(b) (1.0 pt) Encontre o polinômio de
que está mais próximo do polinômio
.
(c) ( 0.5 pts) Encontre as componentes
e
do polinômio
de (b) com respeito à decomposição
.
Seja
(a) (1.5 pts) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal
(b) (1.0 pt) Encontre o polinômio de
(c) ( 0.5 pts) Encontre as componentes
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial
das polinômios de grau
, com o produto interno
se
e
. Definimos o subespaço
onde
Precisamos:
(a) uma base ortogonal de ;
(b) a projeção de em
;
(c) as componentes e
de
.
(a) uma base ortogonal de
(b) a projeção de
(c) as componentes
Passo 2
Para achar
resolvemos
se
.
Isso dá
Isso dá
Logo
e
Tomando parâmetros
,
Uma base qualquer de
é
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em
.
Verifica-se que já é ortogonal a
. Além disso
Verifica-se que
Definimos
Para eliminar frações, substituímos
. Assim obtemos a base ortogonal
Passo 4
A projeção de
em
é
Calculamos:
Logo
Passo 5
A componente em
é
. Subtraindo coeficiente a coeficiente,
Confirma-se que
(basta escrever
com
,
).
Resposta
(a) Uma base ortogonal de
é
(b) O polinômio de
mais próximo de
é
(c) As componentes na decomposição
são