Exercício 1. Mostre que se um conjunto ordenado admite um menor elemento, então esse menor elemento é único.

Passo 1

O enunciado está em teoria de conjuntos ordenados. Temos um conjunto A equipado com uma relação de ordem <= (que é reflexiva, antissimétrica e transitiva) e queremos mostrar que, se existe um menor elemento em A, então esse elemento não pode existir em duplicidade.

Passo 2

Lembrando a definição: um elemento min A é dito menor (ou mínimo) em A se, para todo xin A, vale
m <= x

Passo 3

Suponha, por absurdo, que existam dois menores em A, digamos m1 e m2. Então, pela definição de menor,
m1 <= m2 e m2 <= m1

Passo 4

Como <= é antissimétrica, de
m1 <= m2 e m2 <= m1
segue-se que
m1 = m2
Isso mostra que não podem existir dois menores distintos.

Resposta

O menor elemento é único.

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