Exercício 1. Mostre que se um conjunto ordenado admite um menor elemento, então esse menor elemento é único.
Passo 1
O enunciado está em teoria de conjuntos ordenados. Temos um conjunto
equipado com uma relação de ordem
(que é reflexiva, antissimétrica e transitiva) e queremos mostrar que, se existe um menor elemento em
, então esse elemento não pode existir em duplicidade.
Passo 2
Lembrando a definição: um elemento
é dito menor (ou mínimo) em
se, para todo
, vale
Passo 3
Suponha, por absurdo, que existam dois menores em
, digamos
e
. Então, pela definição de menor,
Passo 4
Como
é antissimétrica, de
segue-se que
Isso mostra que não podem existir dois menores distintos.
Resposta
O menor elemento é único.