Resolva os exercícios abaixo utilizando os conceitos de equações de retas no espaço. Especifique as formas paramétrica, vetorial e simétrica quando solicitado.
Escreva a equação das retas abaixo nas formas paramétrica, vetorial e simétrica:
Passa por P0=(-1,2,4) e tem vetor diretor v=(-2,1,-3)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por P0=(-1,2,4) e tem vetor diretor v=(-2,1,-3). O conteúdo aqui é representação de retas no espaço nas formas paramétrica, vetorial e simétrica, usando as definições:
– forma paramétrica: (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c);
– forma vetorial: r=r0+tv;
– forma simétrica: x-x0a=y-y0b=z-z0c (quando a,b,cneq0).

Passo 2

Para obter a forma paramétrica, escrevemos cada coordenada como função do parâmetro t. Substituindo (x0,y0,z0)=(-1,2,4) e (a,b,c)=(-2,1,-3), temos
x=-1-2t, y=2+t, z=4-3t

Passo 3

A forma vetorial agrupa esses três iguais numa única expressão de vetor posição. Tomando r0=lang<= -1,2,4rang<= e v=lang<= -2,1,-3rang<=, fica
r=lang<= -1,2,4rang<=+t,lang<= -2,1,-3rang<=

Passo 4

Para a forma simétrica, igualamos as frações de cada coordenada deslocada pelo ponto inicial ao componente correspondente de vec v. Como todos os componentes são não nulos, obtemos
x+1-2=y-21=z-4-3

Resposta

Paramétrica:
x=-1-2t, y=2+t, z=4-3t
Vetorial:
r=lang<= -1,2,4rang<=+t,lang<= -2,1,-3rang<=
Simétrica:
x+1-2=y-21=z-4-3

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