Resolva os exercícios abaixo utilizando os conceitos de equações de retas no espaço. Especifique as formas paramétrica, vetorial e simétrica quando solicitado.
Escreva a equação das retas abaixo nas formas paramétrica, vetorial e simétrica:
Passa por P0=(2,1,3) e tem vetor diretor v=(-3,0,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por P0=(2,1,3) e tem vetor diretor vec v=(-3,0,1). Vamos usar o conceito de reta no espaço:
  • forma paramétrica: escrever cada coordenada em função de um parâmetro t.
  • forma vetorial: usar vec r=vec r0+t,vec v.
  • forma simétrica: eliminar o parâmetro t das equações paramétricas.

Passo 2

Para a forma paramétrica, partimos de
(x,y,z) = (2,1,3) + tcdot(-3,0,1),
isto dá o sistema
x = 2 - 3,t, y = 1 + 0,t, z = 3 + 1,t

Passo 3

Para a forma vetorial, usamos o vetor posição inicial lang<=2,1,3rang<= e o vetor diretor lang<=-3,0,1rang<=:
vec r = lang<= 2,,1,,3rang<= + t,lang<= -3,,0,,1rang<=

Passo 4

Na forma simétrica, isolamos t em cada equação paramétrica. Como em y=1 não aparece t, temos que a reta está contida no plano y=1. Das outras duas,
t = x-2-3, t = z-31
Logo a forma simétrica é
x-2-3 ;=;z-31, y=1

Resposta

Paramétrica:
x = 2 - 3,t, y = 1, z = 3 + t
Vetorial:
vec r = lang<= 2,,1,,3rang<= + t,lang<= -3,,0,,1rang<=
Simétrica:
x-2-3 = z-31, y = 1

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