Resolva os exercícios abaixo utilizando os conceitos de equações de retas no espaço. Especifique as formas paramétrica, vetorial e simétrica quando solicitado.
Escreva a equação das retas abaixo (formas paramétrica, vetorial e simétrica) a partir de dois pontos:
P0=(1,2,-4) e P1=(0,-3,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelos pontos P0=(1,2,-4) e P1=(0,-3,1) em três representações: paramétrica, vetorial e simétrica. Vamos usar o fato de que a reta é determinada por um ponto inicial e um vetor direção dado pela diferença entre os dois pontos.

Passo 2

Calcular o vetor direção v como
v = P1 - P0 = (0 - 1,,-3 - 2,,1 -(-4)) = (-1,,-5,,5)

Passo 3

Na forma paramétrica, introduzimos um parâmetro tinR e escrevemos
x = 1 - t, y = 2 - 5t, z = -4 + 5t

Passo 4

Na forma vetorial, denotamos por r o vetor posição genérico (x,y,z) e por r0 o vetor posição de P0. Então
r = r0 + t,v Longrightarrow r = (1,2,-4) + t,(-1,-5,5)

Passo 5

Na forma simétrica, isolamos o parâmetro t em cada coordenada:
t = x-1-1, t = y-2-5, t = z+45
e igualamos:
x-1-1 = y-2-5 = z+45

Resposta

Forma paramétrica:
x = 1 - t, y = 2 - 5t, z = -4 + 5t, tinR
Forma vetorial:
r = (1,2,-4) + t,(-1,-5,5), tinR
Forma simétrica:
x-1-1 = y-2-5 = z+45

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