Exercício 9. Mostre que:
Determine os elementos de Z que tem inverso com respeito a multiplicação em Z.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os elementos de Z que possuem inverso multiplicativo em Z. O conteúdo aqui é o conceito de unidade em um anel: um elemento n é unidade se existe minZ tal que ncdot m=1.

Passo 2

Pela definição de inverso multiplicativo, ninZ tem inverso em Z se, e somente se, existe minZ satisfazendo
ncdot m = 1

Passo 3

Na aritmética dos inteiros, os únicos divisores de 1 são 1 e -1. Logo, para que ncdot m=1 com n,minZ, ambos n e m devem ser ou 1 ou -1.

Passo 4

Portanto, o único ninZ que admite inverso multiplicativo em Z é n=1 (com inverso m=1) ou n=-1 (com inverso m=-1).

Resposta

1,,-1

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