Exercício 9. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em
tem
como único elemento neutro.
A operação produto/multiplicação em
Passo 1
Estamos usando a construção de
Z como classes de equivalência de pares
(a,b)inNtimesN via
e a multiplicação é dada por
O objetivo é mostrar que
(1,0) é elemento neutro para essa multiplicação e que nenhum outro elemento o é.
Passo 2
Mostramos primeiro que
(1,0) realmente age como neutro. Seja
(a,b) qualquer elemento de
Z . Então
o que prova que
(1,0) é elemento neutro à esquerda (e, análogo, à direita).
Passo 3
Para ver que nenhum outro elemento é neutro, suponha que
seja neutro. Então, para todo
,
Pela definição de multiplicação isso implica
ou seja,
para todos
. Reescrevendo,
para quaisquer
. A única forma de isso valer para todos
é
Logo
. Mas
porque
Assim
, mostrando que não existe outro neutro além de
.
Resposta
O único elemento neutro da multiplicação em
Z é
(1,0) .