Exercício 9. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em Z tem (1,0) como único elemento neutro.

Passo 1

Estamos usando a construção de Z como classes de equivalência de pares (a,b)inNtimesN via
(a,b)sim(c,d)Long<=ftrightarrow a+d=b+c,
e a multiplicação é dada por
(a,b)cdot(c,d) =l(ac+bd,;ad+bcr)
O objetivo é mostrar que (1,0) é elemento neutro para essa multiplicação e que nenhum outro elemento o é.

Passo 2

Mostramos primeiro que (1,0) realmente age como neutro. Seja (a,b) qualquer elemento de Z. Então
(1,0)cdot(a,b) =l(1cdot a + 0cdot b,;1cdot b + 0cdot ar) =(a,b),
o que prova que (1,0) é elemento neutro à esquerda (e, análogo, à direita).

Passo 3

Para ver que nenhum outro elemento é neutro, suponha que seja neutro. Então, para todo ,
Pela definição de multiplicação isso implica
ou seja,
para todos . Reescrevendo,
para quaisquer . A única forma de isso valer para todos é
Logo . Mas porque
Assim , mostrando que não existe outro neutro além de .

Resposta

O único elemento neutro da multiplicação em Z é (1,0).

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