Exercício 9. Mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição no conjunto dos inteiros. Ou seja, dado
, provar que
Para isso vamos usar a definição de multiplicação em
como soma iterada e um argumento por indução em
, estendendo depois o caso negativo.
Passo 2
Definimos multiplicação com inteiro não-negativo por recorrência:
Mostramos primeiro o caso
por indução em
.
Passo 3
Base da indução (
):
Temos porque
.
Por definição , então
Temos
Por definição
Logo
.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então, usando a definição de soma e a recursão de
,
Como
, e pela hipótese indutiva
, vem
Assim o passo indutivo está feito.
Passo 5
Concluímos que para todo
Falta estender para
. Seja
com
. Então
, e observamos:
Aplicando o caso já provado para
,
Logo
Como
, segue
Isto mostra o caso
.
Resposta
para todos
.