Exercício 9. Mostre que:
Se alpha, beta, gamma in Z, então alpha(beta+gamma)=alpha beta+alpha gamma.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição no conjunto dos inteiros. Ou seja, dado alpha,beta,gammainZ, provar que
alpha(beta+gamma)=alphabeta+alphagamma
Para isso vamos usar a definição de multiplicação em Z como soma iterada e um argumento por indução em gamma, estendendo depois o caso negativo.

Passo 2

Definimos multiplicação com inteiro não-negativo por recorrência:
alphacdot 0 = 0, alphacdot(gamma+1)=alphacdotgamma + alpha
Mostramos primeiro o caso gamma>=0 por indução em gamma.

Passo 3

Base da indução ( gamma=0):
Temos alpha(beta+0)=alphabeta porque beta+0=beta.
Por definição alphacdot0=0, então
alphabeta + alphacdot0 = alphabeta + 0 = alphabeta
Logo alpha(beta+0)=alphabeta + alphacdot0.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para algum n>=0 valha
alpha(beta+n)=alphabeta + alpha n
Então, usando a definição de soma e a recursão de alphacdot(,cdot,),
alphal(beta+(n+1)r) =alphal((beta+n)+1r) =alpha(beta+n) + alphacdot1
Como alphacdot1=alpha, e pela hipótese indutiva alpha(beta+n)=alphabeta+alpha n, vem
alpha(beta+(n+1)) =(alphabeta+alpha n)+alpha =alphabeta + l(alpha n+alphar) =alphabeta + alpha(n+1)
Assim o passo indutivo está feito.

Passo 5

Concluímos que para todo ninN
alpha(beta+n)=alphabeta + alpha n
Falta estender para gamma<0. Seja gamma=-m com m>0. Então beta+gamma=beta-m, e observamos:
(beta-m)+m=beta
Aplicando o caso já provado para m>=0,
alphal((beta-m)+mr)=alphabeta Longrightarrow alpha(beta-m)+alpha m=alphabeta
Logo
alpha(beta-m)=alphabeta-alpha m
Como alpha(-m)=-(alpha m), segue
alpha(beta+(-m)) =alphabeta + l(-alpha mr) =alphabeta + alpha(-m)
Isto mostra o caso gamma<0.

Resposta

alpha(beta+gamma)=alphabeta+alphagamma
para todos alpha,beta,gammainZ.

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