Sejam v1=[r1 0 -2], v2=[r-2 1 7] e y=[rh -3 -5]. Para que valor (ou valores) de h o vetor y pertence ao plano gerado por v1 e v2 ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(1,0,-2),
v2=(-2,1,7) e
y=(h,-3,-5) e pede o valor de h para que y esteja no plano gerado por v1 e v2. Vamos usar a definição de combinação linear: y pertence ao plano se e somente se existirem escalares a,b tais que
y=av1+bv2.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada a igualdade y=av1+bv2, obtemos o sistema
h = a - 2b, -3 = 0cdot a + 1cdot b, -5 = -2a + 7b

Passo 3

Da segunda equação vem diretamente
b = -3

Passo 4

Substituindo b=-3 na terceira equação:
-5 = -2a + 7(-3) Longrightarrow -5 = -2a -21 Longrightarrow -2a = 16 Longrightarrow a = -8

Passo 5

Finalmente, substituindo a=-8 e b=-3 na primeira equação:
h = a - 2b = -8 -2(-3) = -8 +6 = -2

Resposta

-2

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