Exercício 9 Mostre que as duas equações horárias abaixo, características de uma oscilação amortecida subcrítica, são equivalentes:
e são constantes de integração, que devem ser ajustadas às condições iniciais. Como elas se relacionam?
Passo 1
O enunciado apresenta duas formas da solução da equação de oscilação amortecida subcrítica: a forma “amplitude–fase”
e a forma “senoidal”
O objetivo é usar identidades trigonométricas para mostrar que elas são idênticas desde que satisfaçam certas relações. Vamos precisar apenas da expansão de .
Passo 2
Aplicamos a identidade
Substituindo em ,
obtemos
Passo 3
Agrupando termos com e dentro do colchete, ficamos com
Isso mostra que a forma seno-cosseno é recuperada desde que definamos C e D apropriadamente.
Passo 4
Da comparação direta lemos
C = Acos B, D = -,Asin B
Invertendo essas relações, obtemos
A = raizC^2 + D^2, B = arctan!l(-DCr),
lembrando de escolher o ramo correto de arctan para reproduzir o sinal de C e D.
Resposta
C = Acos B, D = -Asin B Long<=ftrightarrow A = raizC^2+D^2, B = arctan!l(-DCr)