Exercício 9 Mostre que as duas equações horárias abaixo, características de uma oscilação amortecida subcrítica, são equivalentes:
c x(t)=A e^-gamma t / 2 cos (omega t+B) x(t)=e^-gamma t / 2[C cos (omega t)+D sin (omega t)]
A, B, C e D são constantes de integração, que devem ser ajustadas às condições iniciais. Como elas se relacionam?

Passo 1

O enunciado apresenta duas formas da solução da equação de oscilação amortecida subcrítica: a forma “amplitude–fase”
x(t)=A,e^-gamma t/2cosl(omega t+Br)
e a forma “senoidal”
x(t)=e^-gamma t/2l[Ccos(omega t)+Dsin(omega t)r]
O objetivo é usar identidades trigonométricas para mostrar que elas são idênticas desde que A,B,C,D satisfaçam certas relações. Vamos precisar apenas da expansão de cos(omega t+B).

Passo 2

Aplicamos a identidade
cosl(omega t+Br) =cos(omega t)cos B-sin(omega t)sin B
Substituindo em
x(t)=A,e^-gamma t/2cos(omega t+B),
obtemos
x(t) =A,e^-gamma t/2l[cos(omega t)cos B-sin(omega t)sin Br]

Passo 3

Agrupando termos com cos(omega t) e sin(omega t) dentro do colchete, ficamos com
x(t) =e^-gamma t/2l[underbraceAcos BC,cos(omega t) +underbracel(-Asin Br)D,sin(omega t)r]
Isso mostra que a forma seno-cosseno é recuperada desde que definamos C e D apropriadamente.

Passo 4

Da comparação direta lemos
C = Acos B, D = -,Asin B
Invertendo essas relações, obtemos
A = raizC^2 + D^2, B = arctan!l(-DCr),
lembrando de escolher o ramo correto de arctan para reproduzir o sinal de C e D.

Resposta

C = Acos B, D = -Asin B Long<=ftrightarrow A = raizC^2+D^2, B = arctan!l(-DCr)

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