1. (e^t y+t e^t y) d t+(t e^t+2) d y=0, y(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(e^t y + t e^t y),dt + (t e^t + 2),dy = 0
com condição inicial y(0)=-1. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos testar exatidão, achar uma função potencial Psi(t,y) e usar a condição para determinar a constante.

Passo 2

Identificamos
M(t,y) = e^t y + t e^t y, N(t,y) = t e^t + 2
Calculamos
partial Mpartial y = e^t(1+t), partial Npartial t = e^t + t e^t = e^t(1+t)
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi tal que Psit = M. Integramos em t:
Psi(t,y) = integral l(e^t y + t e^t yr),dt = y integral e^t(1+t),dt = yl(t e^tr) + g(y),
pois integral e^t(1+t),dt = t e^t. Logo
Psi(t,y) = y,t e^t + g(y)

Passo 4

Impondo Psiy = N obtemos
Psiy = t e^t + g'(y) = t e^t + 2 Longrightarrow g'(y)=2 Longrightarrow g(y)=2y + C
Podemos absorver C na constante geral.

Passo 5

A solução implícita é
Psi(t,y) = y,t e^t + 2y = C1
Usando y(0)=-1:
(-1)cdot0cdot1 + 2(-1) = C1 Longrightarrow C1 = -2
Então
y,t e^t + 2y = -2

Resposta

y = -2t e^t + 2

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