Exercício 9. Mostre que:
Se alpha, beta, gamma in Z, com gamma neq(0,0) e alpha gamma=beta gamma, então alpha=beta.

Passo 1

O enunciado afirma que se alpha,beta,gammainZ, com gammaneq0, e \r
alphagamma=betagamma, então alpha=beta. \r
O conteúdo é a propriedade de anel integral (sem divisores de zero) e a lei de cancelamento em Z.

Passo 2

A partir de alphagamma=betagamma, subtraímos betagamma de ambos os lados e usamos a distributiva:\r
alphagamma-betagamma=0 \r
que reescreve-se como\r
(alpha-beta),gamma=0

Passo 3

Em Z não existem divisores de zero, isto é, se x,yinZ e x,y=0, então x=0 ou y=0. \r
Essa propriedade segue do fato de que o produto de dois inteiros não nulos nunca é zero (casos de sinais positivas e negativas).

Passo 4

Aplicando essa propriedade a (alpha-beta)gamma=0 e sabendo que gammaneq0, concluímos que \r
alpha-beta=0. \r
Logo \r
alpha=beta

Resposta

alpha=beta.

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