Sejam alpha, beta, gamma in Z. Mostre que:
(-alpha) beta=-(alpha beta)=alpha(-beta).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, no anel dos inteiros, multiplicar por um inverso aditivo equivale a tirar o sinal do produto. O que vamos usar são as seguintes propriedades dos inteiros:
(i) (-alpha)+alpha=0,(ii) alpha+(-alpha)=0,(iii) distributividade (x+y)z=xz+yz,(iv) 0cdot z=0

Passo 2

Para mostrar (-alpha)beta=-(alphabeta), notamos que
l((-alpha)+alphar)beta=0cdotbeta=0
Pela distributividade segue
(-alpha)beta+alphabeta=0
Ou seja, (-alpha)beta é o inverso aditivo de alphabeta, logo
(-alpha)beta=-(alphabeta)

Passo 3

Para mostrar alpha(-beta)=-(alphabeta), aplicamos distributividade a
alphal((-beta)+betar)=alphacdot0=0,
obtendo
alpha(-beta)+alphabeta=0
Isso diz que alpha(-beta) é o inverso aditivo de alphabeta, portanto
alpha(-beta)=-(alphabeta)

Passo 4

Das igualdades
(-alpha)beta=-(alphabeta) e alpha(-beta)=-(alphabeta)
concluímos o encadeamento desejado:
(-alpha)beta=-(alphabeta)=alpha(-beta)

Resposta

(-alpha)beta=-(alphabeta)=alpha(-beta)

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