Exercício 0.6 Mostre que a equação
, com a
e
, admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado dá a equação
com
e
, e pede para mostrar que essa equação admite pelo menos uma raiz real. As informações relevantes que temos são:
-
é um número positivo diferente de . -
é um parâmetro real (pressuposto). - A incógnita é
.
A pergunta é: provar que existe ao menos umque satisfaça a equação acima.
Passo 2
Vamos simplificar a equação com uma substituição natural: defina
. Vou explicar por que essa substituição é válida e útil.
- Para qualquer
e qualquer com temos . Assim a substituição define em . - Além disso, para qualquer
existe exatamente um tal que : basta tomar . Isso porque a função é contínua e sobrejetora de em (se é estritamente crescente, se é estritamente decrescente, em ambos os casos atinge todos os positivos).
Portanto, resolver a equação original emé equivalente a resolver uma equação em restrita a .
Passo 3
Faço a substituição
. A equação fica
com a restrição
. Ou seja, agora temos um polinômio quadrático em
e precisamos mostrar que ele tem pelo menos uma raiz positiva.
Passo 4
Estudo a função polinomial associada
Primeiro, calculemos o discriminante da quadrática para saber se há raízes reais:
Como
, temos
para todo
. Logo a equação quadrática tem duas raízes reais (podem ser iguais somente se
, o que não acontece aqui).
Passo 5
Agora preciso garantir que pelo menos uma dessas raízes seja positiva. Para isso uso valores simples da função
:
- Avaliando em
:
Então
, independentemente de
.
- Como o coeficiente de
é , temos .
Pela continuidade de(é um polinômio) e pelo Teorema do Valor Intermediário, como e quando , existe algum tal que . Em particular . Portanto a quadrática sempre tem pelo menos uma raiz positiva .
(Observação rápida: não precisamos separar casos de
; a avaliação em
sendo sempre
torna o argumento uniformemente válido.)
Passo 6
Tendo encontrado uma raiz positiva
da quadrática, voltamos à substituição
. Como a função
é sobrejetora de
em
, existe um
tal que
Uma expressão explícita para esse
é
Portanto existe pelo menos um
que satisfaz a equação original.
Passo 7
Para tornar ainda mais concreto: as raízes da quadrática são
e pelo argumento anterior pelo menos uma destas duas (de facto a maior delas) é
e, em particular,
. Assim um exemplo explícito de solução real é
Resposta
Existe pelo menos uma raiz real; por exemplo
.