Exercício 0.6 Mostre que a equação a^{2 x}-(m+1) a^{x}+(m-1)=0, com a >0 e a \neq 1, admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado dá a equação \,a^{2x}-(m+1)a^{x}+(m-1)=0 com a>0 e a\neq1, e pede para mostrar que essa equação admite pelo menos uma raiz real. As informações relevantes que temos são:
  • a é um número positivo diferente de 1.
  • m é um parâmetro real (pressuposto).
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
    A pergunta é: provar que existe ao menos um x\in\mathbb{R} que satisfaça a equação acima.

Passo 2

Vamos simplificar a equação com uma substituição natural: defina t=a^{x}. Vou explicar por que essa substituição é válida e útil.
  • Para qualquer x\in\mathbb{R} e qualquer a>0 com a\neq1 temos a^{x}>0. Assim a substituição define t em (0,\infty).
  • Além disso, para qualquer t>0 existe exatamente um x\in\mathbb{R} tal que a^{x}=t: basta tomar x=\log_{a}t. Isso porque a função x\mapsto a^{x} é contínua e sobrejetora de \mathbb{R} em (0,\infty) (se a>1 é estritamente crescente, se 0<a<1 é estritamente decrescente, em ambos os casos atinge todos os positivos).
    Portanto, resolver a equação original em x é equivalente a resolver uma equação em t restrita a t>0.

Passo 3

Faço a substituição \,t=a^{x}. A equação fica
t^{2}-(m+1)t+(m-1)=0,
com a restrição t>0. Ou seja, agora temos um polinômio quadrático em t e precisamos mostrar que ele tem pelo menos uma raiz positiva.

Passo 4

Estudo a função polinomial associada
f(t)=t^{2}-(m+1)t+(m-1).
Primeiro, calculemos o discriminante da quadrática para saber se há raízes reais:
\Delta=(m+1)^{2}-4(m-1)=m^{2}+2m+1-4m+4=m^{2}-2m+5=(m-1)^{2}+4.
Como (m-1)^{2}\ge 0, temos \Delta=(m-1)^{2}+4>0 para todo m\in\mathbb{R}. Logo a equação quadrática tem duas raízes reais (podem ser iguais somente se \Delta=0, o que não acontece aqui).

Passo 5

Agora preciso garantir que pelo menos uma dessas raízes seja positiva. Para isso uso valores simples da função f:
  • Avaliando em t=1:
f(1)=1-(m+1)+(m-1)=-1.
Então f(1)=-1<0, independentemente de m.
  • Como o coeficiente de t^{2} é 1>0, temos \displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=+\infty.
    Pela continuidade de f (é um polinômio) e pelo Teorema do Valor Intermediário, como f(1)<0 e f(t)\to+\infty quando t\to+\infty, existe algum t_{0}>1 tal que f(t_{0})=0. Em particular t_{0}>0. Portanto a quadrática sempre tem pelo menos uma raiz positiva t_{0}.
(Observação rápida: não precisamos separar casos de m; a avaliação em t=1 sendo sempre -1 torna o argumento uniformemente válido.)

Passo 6

Tendo encontrado uma raiz positiva t_{0}>0 da quadrática, voltamos à substituição t=a^{x}. Como a função x\mapsto a^{x} é sobrejetora de \mathbb{R} em (0,\infty), existe um x_{0}\in\mathbb{R} tal que
a^{x_{0}}=t_{0}.
Uma expressão explícita para esse x_{0} é
x_{0}=\log_{a}t_{0}.
Portanto existe pelo menos um x_{0}\in\mathbb{R} que satisfaz a equação original.

Passo 7

Para tornar ainda mais concreto: as raízes da quadrática são
t=\frac{(m+1)\pm\sqrt{(m-1)^{2}+4}}{2},
e pelo argumento anterior pelo menos uma destas duas (de facto a maior delas) é >1 e, em particular, >0. Assim um exemplo explícito de solução real é
x=\log_{a}\!\left(\frac{(m+1)+\sqrt{(m-1)^{2}+4}}{2}\right).

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real; por exemplo x=\log_{a}\!\left(\dfrac{(m+1)+\sqrt{(m-1)^{2}+4}}{2}\right).

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