Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a inequação
Informações dadas:
é uma função exponencial com base
.
O lado direito é o número .
Queremos encontrar todos os valores reais de que satisfaçam essa desigualdade.
O lado direito é o número
Queremos encontrar todos os valores reais de
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
como potência de
. Observamos que
Então a inequação fica
Passo 3
Agora uma pequena aula: comportamento da função exponencial.
A função com
é estritamente crescente em
. Isso significa que, para
,
A função
No nosso caso
, portanto podemos comparar os expoentes sem mudar o sentido da desigualdade. (Se a base fosse
, o sentido da desigualdade se inverteria — por exemplo,
.)
Passo 4
Aplicando a propriedade de monotonicidade ao nosso caso, obtemos a inequação equivalente entre os expoentes:
Passo 5
Passo algébrico: colocar tudo num lado para resolver a inequação quadrática. Subtraindo
dos dois lados:
ou seja
Passo 6
Fatoramos o polinômio do lado esquerdo. Procure dois números cuja soma é
e cujo produto é
: são
e
. Assim
Então precisamos resolver
Passo 7
Análise de sinal do produto
.
As raízes são e
. O produto de dois fatores muda de sinal nesses pontos. Fazendo o estudo por intervalos:
As raízes são
- Para
(ex.: ): . Então a desigualdade vale. - Para
(ex.: ): . Então a desigualdade não vale. - Para
(ex.: ): . Então a desigualdade vale.
Como a desigualdade é, incluímos também os pontos onde o produto é zero, isto é, e .
Passo 8
Portanto a solução da inequação é
Boa! Isso significa que qualquer
menor ou igual a
ou maior ou igual a
satisfaz a inequação original. Se estiver nervoso na prova, lembre: reescrever o número do outro lado como potência da mesma base e usar que exponencial com base
é crescente é o truque principal.