Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
3^{x^{2}-5 x+6} \geq 9

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a inequação
3^{x^{2}-5x+6} \geq 9.
Informações dadas:
\;3^{x^{2}-5x+6} é uma função exponencial com base 3.
O lado direito é o número 9.
Queremos encontrar todos os valores reais de x que satisfaçam essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever 9 como potência de 3. Observamos que
9 = 3^{2}.
Então a inequação fica
3^{x^{2}-5x+6} \geq 3^{2}.

Passo 3

Agora uma pequena aula: comportamento da função exponencial.
A função a^{t} com a>1 é estritamente crescente em t. Isso significa que, para a>1,
a^{u} \ge a^{v} \quad\Longleftrightarrow\quad u \ge v.
No nosso caso a=3>1, portanto podemos comparar os expoentes sem mudar o sentido da desigualdade. (Se a base fosse 0<a<1, o sentido da desigualdade se inverteria — por exemplo, (1/2)^{2} < (1/2)^{1}.)

Passo 4

Aplicando a propriedade de monotonicidade ao nosso caso, obtemos a inequação equivalente entre os expoentes:
x^{2}-5x+6 \geq 2.

Passo 5

Passo algébrico: colocar tudo num lado para resolver a inequação quadrática. Subtraindo 2 dos dois lados:
x^{2}-5x+6-2 \ge 0
ou seja
x^{2}-5x+4 \ge 0.

Passo 6

Fatoramos o polinômio do lado esquerdo. Procure dois números cuja soma é -5 e cujo produto é 4: são -1 e -4. Assim
x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4).
Então precisamos resolver
(x-1)(x-4) \ge 0.

Passo 7

Análise de sinal do produto (x-1)(x-4).
As raízes são x=1 e x=4. O produto de dois fatores muda de sinal nesses pontos. Fazendo o estudo por intervalos:
  • Para x<1 (ex.: x=0): (0-1)(0-4)=(-1)(-4)=+4>0. Então a desigualdade vale.
  • Para 1<x<4 (ex.: x=2): (2-1)(2-4)=(1)(-2)=-2<0. Então a desigualdade não vale.
  • Para x>4 (ex.: x=5): (5-1)(5-4)=(4)(1)=4>0. Então a desigualdade vale.
    Como a desigualdade é \ge 0, incluímos também os pontos onde o produto é zero, isto é, x=1 e x=4.

Passo 8

Portanto a solução da inequação é
x\in (-\infty,1] \cup [4,\infty).
Boa! Isso significa que qualquer x menor ou igual a 1 ou maior ou igual a 4 satisfaz a inequação original. Se estiver nervoso na prova, lembre: reescrever o número do outro lado como potência da mesma base e usar que exponencial com base >1 é crescente é o truque principal.

Resposta

(- \infty,1] \cup [4,\infty)

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