Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
0,16^{x}>\sqrt[5]{15,625}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
0{,}16^{x}>\sqrt[5]{15{,}625}.
Informações dadas:
\text{Lado esquerdo: }0{,}16^{x}.
\text{Lado direito: }\sqrt[5]{15{,}625}.

Passo 2

Vamos simplificar o número do lado esquerdo. Primeiro escrevemos 0{,}16 como fração:
0{,}16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}.
Agora escrevemos \frac{4}{25} como potência de uma base mais simples:
\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}.
Logo
0{,}16^{x}=\left(\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right)^{x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2x}.

Passo 3

Agora simplificamos o lado direito. Observamos que
15{,}625=\frac{125}{8},
pois 15{,}625\cdot 8=125. Escrevendo em potências:
\frac{125}{8}=\left(\frac{5}{2}\right)^{3}.
Portanto
\sqrt[5]{15{,}625}=\left(15{,}625\right)^{1/5}=\left(\left(\frac{5}{2}\right)^{3}\right)^{1/5}=\left(\frac{5}{2}\right)^{3/5}.

Passo 4

Reescrevendo a inequação com essas formas:
\left(\frac{2}{5}\right)^{2x}>\left(\frac{5}{2}\right)^{3/5}.
Note que \frac{5}{2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}, então
\left(\frac{5}{2}\right)^{3/5}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-3/5}.
Assim a inequação fica
\left(\frac{2}{5}\right)^{2x}>\left(\frac{2}{5}\right)^{-3/5}.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de monotonicidade das potências: para uma base a com 0<a<1 (aqui a=\frac{2}{5}), a função t\mapsto a^{t} é estritamente decrescente. Isso significa que se
a^{u}>a^{v}
então necessariamente
u<v.
Aplicando isso à inequação acima (com a=\frac{2}{5}, u=2x e v=-\frac{3}{5}), obtemos
2x<-\frac{3}{5}.

Passo 6

Resolvendo a desigualdade para x, dividimos ambos os lados por 2:
x<-\frac{3}{10}.

Passo 7

Cheque rápido (para termos confiança): se x=-1 (que satisfaz x<-\frac{3}{10}), então
0{,}16^{-1}=6{,}25
e
\sqrt[5]{15{,}625}\approx 1{,}732,
logo 6{,}25>1{,}732, a desigualdade é verdadeira. Se x=0 (que não satisfaz), 0{,}16^{0}=1 e 1<1{,}732, desigualdade falsa. Ótimo — a solução faz sentido.

Resposta

x<-\dfrac{3}{10}

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