Exercício 0.4 Resolva as seguintes equações exponenciais:
5^{3 x-1}=\left(\frac{1}{25}\right)^{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
5^{3x-1}=\left(\frac{1}{25}\right)^{2x+3}.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x.
  • À esquerda aparece a base 5 elevada a uma expressão linear em x: 3x-1.
  • À direita aparece \frac{1}{25} elevada à expressão linear 2x+3.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x que tornam as duas potências iguais.

Passo 2

Explicação útil sobre potências (fórmulas que vamos usar):
  • Se a é um número positivo e b,c são expoentes, então (a^b)^c = a^{bc}. Isso significa que ao elevar uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes.
  • Também usaremos que \left(\dfrac{1}{a}\right)^k = a^{-k}. Ou seja, inverter a base corresponde a trocar o sinal do expoente.
    Vou aplicar essas propriedades para simplificar a direita da equação.

Passo 3

Reescrevendo \dfrac{1}{25} com base 5:
\frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}.
Aqui usei que 25=5^2 e que inverter equivale a expoente negativo.

Passo 4

Aplicando a propriedade (a^b)^c = a^{bc} à parte direita:
\left(\frac{1}{25}\right)^{2x+3} = (5^{-2})^{2x+3} = 5^{-2(2x+3)} = 5^{-4x-6}.
Expliquei cada passo: substituí \frac{1}{25} por 5^{-2}, depois multipliquei os expoentes.

Passo 5

Agora a equação ficou com a mesma base 5 dos dois lados:
5^{3x-1} = 5^{-4x-6}.
Regra importante (explicação didática): se a^u = a^v com a>0 e a\neq 1, então necessariamente u=v. Isso ocorre porque a função a^t é injetora nessas condições (valores diferentes de t dão resultados diferentes). Aqui a=5, que é maior que 0 e diferente de 1, então podemos igualar os expoentes.

Passo 6

Igualando os expoentes:
3x-1 = -4x-6.
Agora resolvemos essa equação linear passo a passo:
  • Somando 4x em ambos os lados: 3x + 4x -1 = -6, ou seja 7x -1 = -6.
  • Somando 1 em ambos os lados: 7x = -5.
  • Dividindo por 7: x = -\dfrac{5}{7}.

Passo 7

Vamos checar substituindo x=-\dfrac{5}{7} nos expoentes para garantir que está correto:
  • À esquerda o expoente é 3x-1. Calculando:
3\left(-\dfrac{5}{7}\right)-1 = -\dfrac{15}{7}-\dfrac{7}{7} = -\dfrac{22}{7}.
  • À direita o expoente é -4x-6. Calculando:
-4\left(-\dfrac{5}{7}\right)-6 = \dfrac{20}{7}-\dfrac{42}{7} = -\dfrac{22}{7}.
Os dois expoentes coincidem, portanto ambas as potências valem 5^{-\tfrac{22}{7}} e a solução está correta.

Resposta

x=-\dfrac{5}{7}

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