Exercício 0.4 Resolva as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é
. - À esquerda aparece a base
elevada a uma expressão linear em : . - À direita aparece
elevada à expressão linear . - Precisamos encontrar todos os valores de
que tornam as duas potências iguais.
Passo 2
Explicação útil sobre potências (fórmulas que vamos usar):
- Se
é um número positivo e são expoentes, então . Isso significa que ao elevar uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes. - Também usaremos que
. Ou seja, inverter a base corresponde a trocar o sinal do expoente.
Vou aplicar essas propriedades para simplificar a direita da equação.
Passo 3
Reescrevendo
com base
:
Aqui usei que
e que inverter equivale a expoente negativo.
Passo 4
Aplicando a propriedade
à parte direita:
Expliquei cada passo: substituí
por
, depois multipliquei os expoentes.
Passo 5
Agora a equação ficou com a mesma base
dos dois lados:
Regra importante (explicação didática): se
com
e
, então necessariamente
. Isso ocorre porque a função
é injetora nessas condições (valores diferentes de
dão resultados diferentes). Aqui
, que é maior que
e diferente de
, então podemos igualar os expoentes.
Passo 6
Igualando os expoentes:
Agora resolvemos essa equação linear passo a passo:
- Somando
em ambos os lados: , ou seja . - Somando
em ambos os lados: . - Dividindo por
: .
Passo 7
Vamos checar substituindo
nos expoentes para garantir que está correto:
- À esquerda o expoente é
. Calculando:
- À direita o expoente é
. Calculando:
Os dois expoentes coincidem, portanto ambas as potências valem
e a solução está correta.