Exercício 2. Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela é homogênea e depois resolvê-la.
Uma equação é homogênea se
e
são funções homogêneas do mesmo grau. Aqui
Uma equação
ambas são homogêneas de grau 2, pois cada termo tem soma dos expoentes igual a 2. Portanto a equação é homogênea de grau 2.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma
.
Da equação original temos
Da equação original temos
logo
Passo 3
Fazemos a substituição típica para equações homogêneas:
Substituindo em
dá
Passo 4
Separamos as variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados,
Multiplicando por
e renomeando a constante,
Passo 5
Voltando a
e
, lembrando que
, temos
Podemos também escrever a solução explícita como
Resposta
A equação é homogênea de grau 2. A solução geral, em forma implícita, é
ou explicitamente