Exercício 2. Mostre que as equações a seguir são homogêneas e resolva-as:
\left(y^{2}+y x\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y^{2}+yx\bigr)\,dx - x^{2}\,dy = 0
e pede para mostrar que ela é homogênea e depois resolvê-la.
Uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é homogênea se M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Aqui
M(x,y)=y^{2}+yx,\quad N(x,y)=-x^{2},
ambas são homogêneas de grau 2, pois cada termo tem soma dos expoentes igual a 2. Portanto a equação é homogênea de grau 2.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma dy/dx=\dots.
Da equação original temos
(y^{2}+yx)\,dx = x^{2}\,dy
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\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}+yx}{x^{2}} =\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Fazemos a substituição típica para equações homogêneas:
v = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = vx \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = v^{2}+v
v + x\frac{dv}{dx} = v^{2} + v \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} = v^{2}.

Passo 4

Separamos as variáveis e integramos:
\frac{dv}{v^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dv}{v^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{v} = \ln\lvert x\rvert + C.
Multiplicando por -1 e renomeando a constante,
\frac{1}{v} = -\ln\lvert x\rvert + C_{1}.

Passo 5

Voltando a y e x, lembrando que v=y/x, temos
\frac{x}{y} = -\ln\lvert x\rvert + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y} + \ln\lvert x\rvert = C_{1}.
Podemos também escrever a solução explícita como
y = \frac{x}{\,C_{1} - \ln\lvert x\rvert\,}.

Resposta

A equação é homogênea de grau 2. A solução geral, em forma implícita, é
\frac{x}{y} + \ln\lvert x\rvert = C,
ou explicitamente
y = \frac{x}{\,C - \ln\lvert x\rvert\,}.

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