Use o método de completamento de quadrados para identificar a cônica dada.
x^{2}+2 y^{2}-4 x-4 y-1=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^{2}+2y^{2}-4x-4y-1=0
e pede para identificá-la usando o completamento de quadrados. O conteúdo envolvido é classificação de cônicas e manipulação algébrica para obter a forma canônica.

Passo 2

Vamos isolar e completar o quadrado nos termos em x. Observe que
x^{2}-4x = (x^{2}-4x+4)-4 = (x-2)^{2}-4.

Passo 3

Agora tratamos os termos em y. Fatoramos 2 e completamos o quadrado dentro dos parênteses:
2y^{2}-4y = 2\,(y^{2}-2y) = 2\bigl[(y^{2}-2y+1)-1\bigr] = 2(y-1)^{2}-2.

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, obtemos
(x-2)^{2}-4 \;+\;2(y-1)^{2}-2 \;-\;1 \;=\;0
Somando as constantes -4-2-1=-7, fica
(x-2)^{2}+2(y-1)^{2}=7.
Dividindo ambos os lados por 7, chega-se à forma canônica
\frac{(x-2)^{2}}{7} \;+\;\frac{(y-1)^{2}}{\tfrac{7}{2}} \;=\;1.

Passo 5

Comparando com a forma padrão \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, concluímos que é uma elipse de centro (h,k)=(2,1), semieixo maior a=\sqrt{7}
ao longo do eixo x e semieixo menor
b=\sqrt{\tfrac{7}{2}}
ao longo do eixo y.

Resposta

A cônica é uma elipse centrada em (2,1) cuja forma canônica é
\frac{(x-2)^{2}}{7} + \frac{(y-1)^{2}}{\tfrac{7}{2}} = 1,
com semieixos a=\sqrt{7} (horizontal) e b=\sqrt{7/2} (vertical).

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