Identifique e esboce a cônica de equação dada utilizando as equações de rotação.
x^{2}-2 x y+y^{2}-2 x-2 y+1=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^{2}-2xy+y^{2}-2x-2y+1=0,
pede para identificá-la (tipo de cônica) e esboçá-la via rotação de eixos. Vamos usar teoria de classificação por discriminante e eliminar o termo em xy com mudança de variáveis rotacionada.

Passo 2

Para classificar, tomamos os coeficientes da parte quadrática:
A=1,\quad B=-2,\quad C=1.
O discriminante é
\Delta = B^{2} - 4AC = (-2)^{2} - 4\cdot1\cdot1 = 4 - 4 = 0.
Como \Delta=0, trata-se de uma parábola.

Passo 3

Para eliminar o termo xy, observamos que
x^{2} -2xy + y^{2} = (x - y)^{2}.
Então definimos as variáveis rotacionadas
u = x - y, \quad v = x + y.

Passo 4

Invertendo a mudança:
x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{v - u}{2}.
Substituindo em toda a equação original, notamos que
x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}=u^{2} \quad\text{e}\quad x+y=v,
logo a equação fica
u^{2} -2\,v +1 =0.

Passo 5

Colocamos em forma canônica de parábola:
u^{2} = 2v -1 \quad\Longleftrightarrow\quad v = \frac{u^{2} + 1}{2}.
Isto é uma parábola com vértice em
(u_{0},v_{0}) = \bigl(0,\tfrac12\bigr),
e eixo paralelo ao eixo v.

Passo 6

Voltando a (x,y), o vértice em (u,v)=(0,\tfrac12) corresponde a
x_{0} = \frac{0 + \tfrac12}{2} = \tfrac14, \quad y_{0} = \frac{\tfrac12 - 0}{2} = \tfrac14.
O eixo v é a reta x+y=\text{const}, isto é, a reta y=x. A parábola abre no sentido de v crescente, ou seja, na direção do vetor (1,1).

Resposta

A curva é uma parábola rotacionada em 45^\circ, com forma canônica em (u,v):
v = \frac{u^{2}+1}{2},
vértice em \bigl(\tfrac14,\tfrac14\bigr), eixo sobre a reta y=x e abertura no sentido nordeste.
Esboço: marcar o ponto \bigl(\tfrac14,\tfrac14\bigr), traçar a reta y=x como eixo, e desenhar a parábola abrindo ao longo dessa reta.

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