Exercício 6. Mostre que as matrizes
A=[cc a & b 0 & c ] e B=[cc d & e 0 & f ]
comutam (ou seja, A B=B A ) se, e somente se,
cc b & a-c e & d-f

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para
A= a & b 0 & c e B= d & e 0 & f ,
temos AB=BA se, e somente se
|cc b & a - c e & d - f | = 0
O conteúdo é o de comutação de matrizes 2times 2; vamos calcular AB e BA.

Passo 2

Calculemos primeiro
AB = a & b 0 & c d & e 0 & f = ad & ae + bf 0 & cf

Passo 3

Agora
BA = d & e 0 & f a & b 0 & c = da & db + ec 0 & fc
Como ad=da e cf=fc, a única condição não-trivial para AB=BA vem da entrada ( 1,2):
ae + bf = db + ec

Passo 4

Reescrevendo
ae + bf = db + ec Long<=ftrightarrow ae - ec = db - bf Long<=ftrightarrow e,(a - c) = b,(d - f),
ou seja
b,(d - f) - e,(a - c) = 0

Passo 5

Note que
|cc b & a - c e & d - f | = b,(d - f) ;-; e,(a - c)
Logo
AB=BA Long<=ftrightarrow b,(d - f)-e,(a - c)=0 Long<=ftrightarrow |cc b & a - c e & d - f |=0

Resposta

As matrizes A e B comutam se, e somente se
|cc b & a - c e & d - f |=0

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