Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se
e
possuem os mesmos autovalores então
e
são semelhantes.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se “sempre que duas matrizes
e
têm os mesmos autovalores, elas são necessariamente semelhantes”. O conteúdo aqui é teoria de autovalores, polinômio característico e classe de similaridade via forma de Jordan. Vamos usar o fato de que similaridade preserva a estrutura de blocos de Jordan, não apenas as raízes do polinômio característico.
Passo 2
Duas matrizes são semelhantes se, e somente se, têm a mesma forma de Jordan (isto é, mesmo número e tamanhos de blocos de Jordan para cada autovalor). Ter apenas os mesmos autovalores — isto é, as mesmas raízes do polinômio característico com multiplicidade algébrica — não garante que os blocos de Jordan coincidam. Portanto, basta exibir um contra-exemplo com mesma lista de autovalores, mas distinta decomposição de Jordan.
Passo 3
Considere as matrizes em
O polinômio característico de ambas é
logo cada uma tem autovalor
de multiplicidade algébrica
. Mas a forma de Jordan de
é um bloco de tamanho
, enquanto a de
são dois blocos de tamanho
(é diagonal). Assim,
não é similar a
.]
Resposta
A afirmação é Falsa. Contra-exemplo:
têm os mesmos autovalores mas não são semelhantes.