Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se A e B possuem os mesmos autovalores então A e B são semelhantes.

Passo 1

O enunciado pergunta se “sempre que duas matrizes A e B têm os mesmos autovalores, elas são necessariamente semelhantes”. O conteúdo aqui é teoria de autovalores, polinômio característico e classe de similaridade via forma de Jordan. Vamos usar o fato de que similaridade preserva a estrutura de blocos de Jordan, não apenas as raízes do polinômio característico.

Passo 2

Duas matrizes são semelhantes se, e somente se, têm a mesma forma de Jordan (isto é, mesmo número e tamanhos de blocos de Jordan para cada autovalor). Ter apenas os mesmos autovalores — isto é, as mesmas raízes do polinômio característico com multiplicidade algébrica — não garante que os blocos de Jordan coincidam. Portanto, basta exibir um contra-exemplo com mesma lista de autovalores, mas distinta decomposição de Jordan.

Passo 3

Considere as matrizes em M2(C)
A = 2 & 1[4pt]0 & 2, B = 2 & 0[4pt]0 & 2
O polinômio característico de ambas é
chi(lambda) = detl(M-lambda Ir) = (2-lambda)^2,
logo cada uma tem autovalor 2 de multiplicidade algébrica 2. Mas a forma de Jordan de A é um bloco de tamanho 2, enquanto a de B são dois blocos de tamanho 1 (é diagonal). Assim, A não é similar a B.]

Resposta

A afirmação é Falsa. Contra-exemplo:
A = 2 & 10 & 2, B = 2 & 00 & 2,
têm os mesmos autovalores mas não são semelhantes.

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