Exercício 7 Mostre que não existem constantes c_{1} e c_{2} que tornam as funções f_{1} e f_{2} abaixo f.d.p’s
\begin{aligned} & f_{1}(x)= \begin{cases}\frac{c}{x}, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário, }\end{cases} \\\ & f_{2}(x)= \begin{cases}\frac{c}{1+x}, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases} \end{aligned}áá

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem constantes [c_{1}) e c_{2} que tornem as funções f_{1} e f_{2} dadas em funções densidade de probabilidade (f.d.p.). As funções fornecidas são:
f_{1}(x)= \begin{cases} \dfrac{c}{x}, & \text{se } 0<x<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário,} \end{cases}á
f_{2}(x)= \begin{cases} \dfrac{c}{1+x}, & \text{se } x>0,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
O que o problema exige concretamente:
  • Mostrar que não existe c_{1}\] que torne \(f_{1} uma f.d.p.
  • Mostrar que não existe c_{2} que torne f_{2} uma f.d.p.
Informações relevantes dadas: as expressões das funções e os domínios onde elas são positivas.]

Passo 2

Relembrando (clarinho): para que uma função f seja uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) sobre \mathbb{R} ela precisa satisfazer duas condições essenciais:
  1. Não-negatividade: f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
  2. Normalização: a integral da função sobre toda a reta vale 1, isto é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Explicação curta do porquê da segunda condição: a integral de uma densidade dá a probabilidade total de todo o espaço amostral; essa probabilidade tem que ser 1. Para funções definidas por pedaços, a integral sobre \mathbb{R} se reduz à integral sobre o suporte (onde a função é não nula).

Passo 3

Análise de f_{1}\). Primeiro observe que, para qualquer \(c\ge 0\), a condição de não-negatividade está ok em \(0<x<1\) (pois \(1/x>0\)). O problema está na normalização: \[\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(x)\,dx = \int_{0}^{1} \frac{c}{x}\,dx.
Essa integral é uma integral imprópria por causa da singularidade em x=0. Vamos avaliá‑la como limite:
\int_{0}^{1} \frac{c}{x}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{c}{x}\,dx.
Sabendo que \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C, tem-se
\int_{\varepsilon}^{1} \frac{c}{x}\,dx = c\bigl[\ln x\bigr]_{\varepsilon}^{1} = c\bigl(\ln 1 - \ln \varepsilon\bigr) = -c\ln \varepsilon.
Agora faça \varepsilon\to 0^+. Como \ln \varepsilon \to -\infty, segue que -\ln\varepsilon \to +\infty. Portanto
\int_{0}^{1} \frac{c}{x}\,dx = \begin{cases} +\infty, & \text{se } c>0,\\[4pt] 0, & \text{se } c=0,\\[4pt] -\infty, & \text{se } c<0. \end{cases}
Interpretação do resultado para f_{1}\]: para obter a condição de normalização (integral igual a \(1) seria necessário escolher um c tal que \int_{0}^{1} \dfrac{c}{x}\,dx = 1. Mas o cálculo mostrou que para c>0 a integral é +\infty (não finita), para c=0 é 0 (não é 1), e para c<0 a integral não é admissível porque a função deixa de ser não‑negativa. Logo não existe nenhum c que satisfaça simultaneamente as duas condições necessárias a uma f.d.p. para f_{1}. Conclusão parcial: não existe c_{1} que torne f_{1} uma f.d.p.]

Passo 4

Análise de f_{2}\). Novamente, para \(c\ge 0\) a função é não‑negativa no suporte \(x>0\). Verificamos a normalização: \[\int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{c}{1+x}\,dx.
Essa é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito. Avaliando:
\int_{0}^{\infty} \frac{c}{1+x}\,dx = \lim_{M\to\infty} \int_{0}^{M} \frac{c}{1+x}\,dx.
Sabendo que \int \dfrac{1}{1+x}\,dx = \ln(1+x) + C, tem-se
\int_{0}^{M} \frac{c}{1+x}\,dx = c\bigl[\ln(1+x)\bigr]_{0}^{M} = c\bigl(\ln(1+M) - \ln 1\bigr) = c\ln(1+M).
Fazendo M\to\infty, \ln(1+M)\to\infty. Assim
\int_{0}^{\infty} \frac{c}{1+x}\,dx = \begin{cases} +\infty, & \text{se } c>0,\\[4pt] 0, & \text{se } c=0,\\[4pt] -\infty, & \text{se } c<0. \end{cases}
Interpretação do resultado para f_{2}\]: a integral é infinita se \(c>0, zero se c=0 e negativa infinita se c<0. Não existe c tal que a integral seja igual a 1 e, ao mesmo tempo, preserve não‑negatividade (no caso c<0 a não‑negatividade falha). Portanto não existe c_{2} que torne f_{2} uma f.d.p.]

Passo 5

Resumo intuitivo e encorajamento: o problema de f_{1} é a singularidade em 0: 1/x é “forte demais” perto de 0 e não é integrável no intervalo (0,1). O problema de f_{2} é a cauda muito lenta (decai como 1/x para grande x), o que faz a integral no infinito divergir. Em ambos os casos não dá para normalizar com uma constante finita e positiva. Isso é suficiente para concluir que nenhuma constante funciona — empate perdido, mas agora você entendeu por que.

Resposta

Não existe c_{1} que torne f_{1} uma f.d.p.
Não existe c_{2} que torne f_{2} uma f.d.p.

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