Função de probabilidade. Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições.
Seja o evento : A=\{x ; a \leq x \leq b\}. Entào P(A)=P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) d x. Exemplo O tempo de realização de uma etapa de um projeto (em horas) é uma variável aleatória X com função densidade
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{5-x}{4}, & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Verificar se f(x), é uma função de densidade de probabilidade e calcular a probabilidade que o tempo de realização seja menor do que 3 horas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} \dfrac{5-x}{4}, & \text{se }2\le x\le 4,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
E pede duas coisas:
  1. Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.).
  2. Calcular a probabilidade de que o tempo de realização seja menor do que 3 horas, isto é, P(X<3).
As informações relevantes que temos: a densidade é não nula somente no intervalo [2,4] e é dada por \dfrac{5-x}{4} nesse intervalo.]

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre o que é necessário para f(x) ser uma f.d.p.:
  • Condição 1 (não negatividade): f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Condição 2 (normalização): \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Explicando porquê: a primeira garante que probabilidades (que são áreas) não sejam negativas; a segunda garante que a probabilidade total do espaço amostral seja 1. Para variáveis contínuas, probabilidades de eventos são calculadas por integrais da f.d.p. sobre os conjuntos.

Passo 3

Verificar não negatividade de f(x).
Para x fora de [2,4] temos f(x)=0, portanto não negativa. Para x em [2,4] temos
f(x)=\frac{5-x}{4}.
No intervalo [2,4] o numerador 5-x varia de 5-2=3 até 5-4=1, ou seja é sempre positivo. Logo \dfrac{5-x}{4}>0 para todo x\in[2,4]. Concluímos que f(x)\ge 0 para todo x.

Passo 4

Verificar normalização: calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx. Como f(x)=0 fora de [2,4], basta integrar nesse intervalo:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{2}^{4} \frac{5-x}{4}\,dx.
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, fatoramos a constante:
\int_{2}^{4} \frac{5-x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int_{2}^{4} (5-x)\,dx.
Agora achamos uma primitiva de 5-x. Uma primitiva é 5x-\dfrac{x^{2}}{2}. Portanto uma primitiva da integranda multiplicada pela constante é
F(x)=\frac{1}{4}\left(5x-\frac{x^{2}}{2}\right).
Avaliaremos F em 4 e em 2:
F(4)=\frac{1}{4}\left(5\cdot 4-\frac{4^{2}}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(20-\frac{16}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(20-8\right)=\frac{12}{4}=3,
F(2)=\frac{1}{4}\left(5\cdot 2-\frac{2^{2}}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(10-\frac{4}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(10-2\right)=\frac{8}{4}=2.
Agora a integral é F(4)-F(2)=3-2=1. Como a integral total é 1, a condição de normalização está satisfeita.
Portanto, pelas duas condições verificadas, f(x) é de fato uma função densidade de probabilidade.

Passo 5

Calcular P(X<3).
Para variável contínua, P(X<3)=\displaystyle\int_{-\infty}^{3} f(x)\,dx. Como f(x)=0 para x<2, essa integral reduz-se a
P(X<3)=\int_{2}^{3} \frac{5-x}{4}\,dx.
Usamos a mesma primitiva F(x)=\dfrac{1}{4}\left(5x-\dfrac{x^{2}}{2}\right) e avaliamos entre 2 e 3:
F(3)=\frac{1}{4}\left(5\cdot 3-\frac{3^{2}}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(15-\frac{9}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{30-9}{2}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{21}{2}=\frac{21}{8}=2{,}625,
F(2)=2 \quad\text{(já calculado no passo anterior)}.á
Logo
P(X<3)=F(3)-F(2)=\frac{21}{8}-2=\frac{21}{8}-\frac{16}{8}=\frac{5}{8}.
Em decimal isso é \dfrac{5}{8}=0,625.
Observação didática: para variáveis contínuas a diferença entre P(X<3) e P(X\le 3) é zero, então tanto faz usar < ou \le na prova.

Resposta

Sim, f(x) é uma função densidade de probabilidade.
P(X<3)=\dfrac{5}{8}=0,625

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