Função de probabilidade. Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p) da variável aleatória contínua X se satisfaz as seguintes condições.
Seja o evento : A=\{x ; a \leq x \leq b\}. Entào P(A)=P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) d x. Exemplo O tempo de realização de uma etapa de um projeto (em horas) é uma variável aleatória X com função densidade
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{5-x}{4}, & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.
Verificar se f(x), é uma função de densidade de probabilidade e calcular a probabilidade que o tempo de realização seja menor do que 3 horas.
Explicando porquê: a primeira garante que probabilidades (que são áreas) não sejam negativas; a segunda garante que a probabilidade total do espaço amostral seja 1. Para variáveis contínuas, probabilidades de eventos são calculadas por integrais da f.d.p. sobre os conjuntos.
Passo 3
Verificar não negatividade de f(x).
Para x fora de [2,4] temos f(x)=0, portanto não negativa. Para x em [2,4] temos
f(x)=\frac{5-x}{4}.
No intervalo [2,4] o numerador 5-x varia de 5-2=3 até 5-4=1, ou seja é sempre positivo. Logo \dfrac{5-x}{4}>0 para todo x\in[2,4]. Concluímos que f(x)\ge 0 para todo x.
Passo 4
Verificar normalização: calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx. Como f(x)=0 fora de [2,4], basta integrar nesse intervalo: