Exercício 1 Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo ( -2,2 ). Determine a probabilidade de [-1<X<+1].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (-2,2).
  • Pede-se a probabilidade do evento -1 < X < +1.
O que se pede explicitamente:
  • Calcular \mathbb{P}(-1 < X < 1).

Passo 2

Entendendo a distribuição uniforme contínua (conceito e fórmula usada).
  • Para uma variável contínua X com distribuição uniforme no intervalo (a,b), a densidade de probabilidade é constante nesse intervalo e vale
f_X(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a<x<b,
e f_X(x)=0 fora de (a,b).
  • Essa fórmula vem da exigência de que a integral da densidade sobre todo o espaço seja 1:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{1}{b-a}\,(b-a)=1.
Explicação em linguagem simples: como todas as posições em (a,b) são igualmente prováveis, a altura da densidade é escolhida para que a área total (probabilidade total) seja 1.

Passo 3

Como se calcula a probabilidade de um intervalo para essa distribuição.
  • Para qualquer subintervalo (c,d)\subset (a,b), a probabilidade é a integral da densidade sobre esse subintervalo:
\mathbb{P}(c<X<d)=\int_{c}^{d} f_X(x)\,dx=\int_{c}^{d}\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{d-c}{b-a}.
  • Interpretação prática: a probabilidade é a razão entre o comprimento do intervalo favorável (d-c) e o comprimento total do suporte (b-a). Isso é muito útil na prova porque evita integrar toda vez: basta dividir comprimentos.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso específico.
  • Aqui a=-2 e b=2. Portanto
b-a = 2-(-2)=4,
e a densidade dentro de (-2,2) vale
f_X(x)=\frac{1}{4}\quad\text{para }-2<x<2.
  • O evento pedido é -1<X<1. O comprimento do intervalo favorável é
1-(-1)=2.

Passo 5

Cálculo direto por integral (passo-a-passo das contas).
\mathbb{P}(-1<X<1)=\int_{-1}^{1} f_X(x)\,dx=\int_{-1}^{1}\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\bigl(1-(-1)\bigr)=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação final e verificação por razão de comprimentos (checape rápido, jeito rápido na prova).
  • Pela regra da razão de comprimentos:
\mathbb{P}(-1<X<1)=\frac{\text{comprimento do intervalo }(-1,1)}{\text{comprimento do intervalo }(-2,2)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
  • Portanto o resultado está coerente pelos dois métodos.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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