Exercício 1 Seja
uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (
). Determine a probabilidade de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
- A variável aleatória
tem distribuição uniforme no intervalo . - Pede-se a probabilidade do evento
.
O que se pede explicitamente:
- Calcular
.
Passo 2
Entendendo a distribuição uniforme contínua (conceito e fórmula usada).
- Para uma variável contínua
com distribuição uniforme no intervalo , a densidade de probabilidade é constante nesse intervalo e vale
e
fora de
.
- Essa fórmula vem da exigência de que a integral da densidade sobre todo o espaço seja
:
Explicação em linguagem simples: como todas as posições em
são igualmente prováveis, a altura da densidade é escolhida para que a área total (probabilidade total) seja
.
Passo 3
Como se calcula a probabilidade de um intervalo para essa distribuição.
- Para qualquer subintervalo
, a probabilidade é a integral da densidade sobre esse subintervalo:
- Interpretação prática: a probabilidade é a razão entre o comprimento do intervalo favorável
e o comprimento total do suporte . Isso é muito útil na prova porque evita integrar toda vez: basta dividir comprimentos.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso específico.
- Aqui
e . Portanto
e a densidade dentro de
vale
- O evento pedido é
. O comprimento do intervalo favorável é
Passo 5
Cálculo direto por integral (passo-a-passo das contas).
Passo 6
Interpretação final e verificação por razão de comprimentos (checape rápido, jeito rápido na prova).
- Pela regra da razão de comprimentos:
- Portanto o resultado está coerente pelos dois métodos.