Exercício 9. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em
é associativa.
A operação produto/multiplicação em
Passo 1
O exercício pede pra gente mostrar que a multiplicação em
é associativa, ou seja, que pra quaisquer inteiros
vale
. O conteúdo aqui é propriedades de operações e você vai precisar lembrar como definimos multiplicação nos naturais e como estendemos isso pros inteiros.
Passo 2
Associatividade é aquela propriedade que diz
. Primeiro, a gente já sabe que em
a multiplicação é associativa porque ela surge de adição repetida (ou seja, somar
com ele mesmo
vezes e depois repetir isso
vezes dá o mesmo resultado de juntar
e
primeiro).
Passo 3
Para estender pro conjunto
, usamos as regras de sinal:
-
-
-
Com isso qualquer produto de inteiros vira um produto de naturais (às vezes com sinal negativo) mas sempre envolvendo multiplicação em.
Passo 4
Agora, pegue as duas expressões
e
. Aplicando as regras de sinal, as duas ficam iguais a um produto de três números naturais (com, no máximo, um sinal
no começo). Como em
a multiplicação é associativa, essa transformação mostra que as duas expressões coincidem mesmo em
.
Resposta
Para quaisquer
, vale
. Portanto a multiplicação em
é associativa.