Exercício 9. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em Z é associativa.

Passo 1

O exercício pede pra gente mostrar que a multiplicação em Z é associativa, ou seja, que pra quaisquer inteiros a,b,c vale (acdot b)cdot c = acdot(bcdot c). O conteúdo aqui é propriedades de operações e você vai precisar lembrar como definimos multiplicação nos naturais e como estendemos isso pros inteiros.

Passo 2

Associatividade é aquela propriedade que diz (xcdot y)cdot z = xcdot(ycdot z). Primeiro, a gente já sabe que em N a multiplicação é associativa porque ela surge de adição repetida (ou seja, somar x com ele mesmo y vezes e depois repetir isso z vezes dá o mesmo resultado de juntar y e z primeiro).

Passo 3

Para estender pro conjunto Z, usamos as regras de sinal:
  • (-a)cdot b = -(acdot b)
  • acdot(-b) = -(acdot b)
  • (-a)cdot(-b) = acdot b
    Com isso qualquer produto de inteiros vira um produto de naturais (às vezes com sinal negativo) mas sempre envolvendo multiplicação em N.

Passo 4

Agora, pegue as duas expressões
(acdot b)cdot c e acdot(bcdot c). Aplicando as regras de sinal, as duas ficam iguais a um produto de três números naturais (com, no máximo, um sinal - no começo). Como em N a multiplicação é associativa, essa transformação mostra que as duas expressões coincidem mesmo em Z.

Resposta

Para quaisquer a,b,cinZ, vale (acdot b)cdot c = acdot(bcdot c). Portanto a multiplicação em Z é associativa.

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