Exercício 9. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em
é comutativa.
A operação produto/multiplicação em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros
, vale
O conteúdo envolvido é a definição de multiplicação em
(herdada de
) e suas propriedades básicas. Vamos primeiro provar comutatividade em
por indução e depois estender o resultado a todos os inteiros, considerando sinais.
Passo 2
Prova por indução em
de que, para todo
,
Base (
): pela definição de multiplicação em
,
logo
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
onde “hi” indica hipótese de indução. Assim vale a comutatividade em
.
Passo 3
Agora seja
. Cada inteiro é ou zero, ou positivo, ou negativo.
- Se
, então são naturais e já temos . - Se
e , escreva com . Então
- Se
e faz-se análogo trocando papéis de . - Se
e , escreva , com . Então
Em todos os casos concluímos
.
Resposta
Fica demonstrado que a multiplicação em
é comutativa, ou seja, para quaisquer
vale