Exercício 9. Mostre que:
A operação produto/multiplicação em Z é comutativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a,binZ, vale
acdot b = bcdot a
O conteúdo envolvido é a definição de multiplicação em Z (herdada de N) e suas propriedades básicas. Vamos primeiro provar comutatividade em N por indução e depois estender o resultado a todos os inteiros, considerando sinais.

Passo 2

Prova por indução em N de que, para todo m,ninN,
mcdot n = ncdot m
Base ( n=0): pela definição de multiplicação em N,
mcdot 0 = 0, 0cdot m = 0,
logo mcdot 0 = 0cdot m.
Passo indutivo: suponha mcdot n = ncdot m. Então
mcdot(n+1) = mcdot n + m stackrelhi= ncdot m + m = (n+1)cdot m,
onde “hi” indica hipótese de indução. Assim vale a comutatividade em N.

Passo 3

Agora seja a,binZ. Cada inteiro é ou zero, ou positivo, ou negativo.
  1. Se a,b>=0, então são naturais e já temos acdot b=bcdot a.
  2. Se a<0 e b>=0, escreva a=-m com m>0. Então
acdot b = (-m)cdot b = -(mcdot b) stackrelPasso 2= -(bcdot m) = bcdot(-m)=bcdot a
  1. Se a>=0 e b<0 faz-se análogo trocando papéis de a,b.
  2. Se a<0 e b<0, escreva a=-m, b=-n com m,n>0. Então
acdot b = (-m)cdot(-n) = mcdot n stackrelPasso 2= ncdot m = (-n)cdot(-m) = bcdot a
Em todos os casos concluímos acdot b = bcdot a.

Resposta

Fica demonstrado que a multiplicação em Z é comutativa, ou seja, para quaisquer a,binZ vale
acdot b = bcdot a

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