- Problema 5.21. Prove que
é uniformemente contínua em
, mas não em
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função
é uniformemente contínua em
, mas não é uniformemente contínua em
.
Lembrando a definição: é uniformemente contínua num domínio
se, para todo
, existe
tal que, para quaisquer
,
Lembrando a definição:
Passo 2
Vamos mostrar primeiro a continuidade uniforme em
. Para quaisquer
temos
Como
, segue
. Logo
Dado
, basta escolher
Então, sempre que
, teremos
mostrando que
é uniformemente contínua em
.
Passo 3
Agora vamos ver que
não é uniformemente contínua em
. Suponha, por absurdo, que exista
que funcione para
. Considere
Então
mas
Isso contradiz a hipótese de continuidade uniforme (para
deveríamos ter
sempre que
). Portanto,
não é uniformemente contínua em
.
Resposta
A função
é uniformemente contínua em
, mas não é uniformemente contínua em
.