• Problema 5.21. Prove que f(x)=x^2 é uniformemente contínua em [0,1], mas não em R.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
f(x)=x^2
é uniformemente contínua em [0,1], mas não é uniformemente contínua em R.
Lembrando a definição: f é uniformemente contínua num domínio D se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin D,
|x-y|<de<aLongrightarrow|f(x)-f(y)|<epsilon

Passo 2

Vamos mostrar primeiro a continuidade uniforme em [0,1]. Para quaisquer x,yin[0,1] temos
|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x-y|;|x+y|
Como x,yin[0,1], segue x+y<= 2. Logo
|f(x)-f(y)|<= 2,|x-y|
Dado epsilon>0, basta escolher
de<a=epsilon2
Então, sempre que |x-y|<de<a, teremos
|f(x)-f(y)|<= 2,|x-y|<2,de<a=epsilon,
mostrando que f é uniformemente contínua em [0,1].

Passo 3

Agora vamos ver que f não é uniformemente contínua em R. Suponha, por absurdo, que exista de<a>0 que funcione para epsilon=1. Considere
x=1de<a, y=x+de<a2
Então
|x-y|=de<a2<de<a
mas
|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=l(2x+tfracde<a2r)de<a2 =l(tfrac2de<a+tfracde<a2r)de<a2 =1+de<a^24>1
Isso contradiz a hipótese de continuidade uniforme (para epsilon=1 deveríamos ter |f(x)-f(y)|<1 sempre que |x-y|<de<a). Portanto, f não é uniformemente contínua em R.

Resposta

A função f(x)=x^2 é uniformemente contínua em [0,1], mas não é uniformemente contínua em R.

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