Exercício 3.[Teorema completude de \mathbb{R} ] Seja A um conjunto não vazio de cortes e que é limitado superiormente. Denote por \mu o corte que é cota superior para os cortes de A. Ou seja, para todo \alpha \in A tem-se \alpha \subset \mu. (Veremos que a existência do corte cota superior \mu será importante para mostrar que a união abaixo não é todo o \mathbb{Q}.)
Defina o conjunto união U dado por
U:=\bigcup_{\alpha \in A} \alpha
Mostraremos que U é um corte. Ou seja, U satisfaz os axiomas (D1) - (D3).
(i) Mostre que U \neq \emptyset
(ii) Mostre que U \neq \mathbb{Q}, ou seja, U é um subconjunto próprio de \mathbb{Q}.
(iii) Mostre que U é fechado para baixo
(iv) Mostre que U é uma cota superior para o conjunto A. Ou seja, para todo corte \alpha \in A tem-se \alpha \subset U. superior A, isto é, prove que
\forall \alpha \in A, \quad \alpha \subset U .
(v) Considere V um corte que seja uma cota superior para o conjunto A. Ou seja, V é tal que
\forall \alpha \in A, \quad \alpha \subset V .
Mostre que necessariamente
U \subset V .
(vi) Conclua que U é a menor das cotas superiores de A, isto é, o supremo de A na ordem por inclusão. Desta forma, para todo A conjunto de cortes não vazio e limitado superiormente, sempre existe um único corte S tal que S é a menor das cotas superiores para A; Denota-se S=\sup A e tem-se uma forma fechada para S que é $S=\bigcup_{\alpha \in A} \alpha.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
  • Informações dadas:
    • A é um conjunto não vazio de cortes (cada elemento de A é um subconjunto de \mathbb{Q} que satisfaz os axiomas de corte).
    • A é limitado superiormente: existe um corte \mu tal que \forall \alpha\in A,\quad \alpha\subset\mu.(Isto significa que \mu é uma cota superior de A.)
    • Define-se U:=\bigcup_{\alpha\in A}\alpha.
  • O que o exercício pede (itens (i) a (vi)):
    (i) Mostrar que U\neq\varnothing.
    (ii) Mostrar que U\neq\mathbb{Q} (isto é, U é um subconjunto próprio de \mathbb{Q}).
    (iii) Mostrar que U é fechado para baixo (se x\in U e y<x então y\in U).
    (iv) Mostrar que U é uma cota superior para A: \forall\alpha\in A,\\ \alpha\subset U.
    (v) Mostrar que se V é qualquer cota superior de A (ou seja, \forall\alpha\in A,\\ \alpha\subset V), então U\subset V.
    (vi) Concluir que U é a menor das cotas superiores de A, i.e. U=\sup A e existe um único tal corte.
Não vou resolver nada ainda aqui; nos próximos passos vou relembrar a definição de corte e então provar cada item, passo a passo e explicando bem cada argumento.

Passo 2

Relembrando o que é um corte (axiomas (D1)–(D3)) e por que cada axioma importa.
  • Axioma (D1): Um corte é um subconjunto C\subset\mathbb{Q} que é não vazio e próprio, isto é,
    C\neq\varnothing\quad\text{e}\quad C\neq\mathbb{Q}.
    Significado: um corte não é vazio e não é o conjunto inteiro dos racionais.
  • Axioma (D2): C é fechado para baixo:
    \forall x\in C,\\ \forall y\in\mathbb{Q},\quad (y<x\Rightarrow y\in C).
    Significado: se um racional está no corte, então todos os racionais menores também estão.
  • Axioma (D3): C não tem maior elemento:
    \forall x\in C,\\ \exists z\in C\\ \text{tal que}\\ x<z.
    Significado: para cada elemento do corte existe outro maior ainda no corte (não há máximo).
Nosso objetivo é mostrar que U satisfaz (D1)–(D3) (isso prova que U é um corte) e depois provar as propriedades de cota superior e minimalidade pedidas. Em cada passo vou usar explicitamente um axioma de cortes quando o uso for necessário.

Passo 3

Prova de (i): U\neq\varnothing.
Explicação e argumento: como A é não vazio, escolha um corte \alpha_0\in A. Pelo axioma (D1) dos cortes, \alpha_0\neq\varnothing, então existe algum q\in\alpha_0. Pela definição da união,
q\in\alpha_0\quad\Rightarrow\quad q\in\bigcup_{\alpha\in A}\alpha=U.
Logo U contém pelo menos um racional, portanto U\neq\varnothing.
(Retomando em palavras: a união de conjuntos não vazia contém algo porque já existe pelo menos um conjunto em A que contém um racional.)

Passo 4

Prova de (ii): U\neq\mathbb{Q}.
Explicação e argumento: usamos a hipótese de existência da cota superior \mu. Por hipótese sabemos que para todo \alpha\in A vale \alpha\subset\mu. Então a união de todos os \alpha fica contida em \mu:
U=\bigcup_{\alpha\in A}\alpha \subset \mu.
Como \mu é um corte, ele satisfaz (D1), em particular \mu\neq\mathbb{Q}. Portanto existe algum racional r\in\mathbb{Q} tal que r\notin\mu. Tal r não pode estar em nenhum \alpha\in A (pois cada \alpha\subset\mu), então r\notin U. Assim U\neq\mathbb{Q}.
(Em poucas palavras: a união está contida em \mu, e \mu não é todo \mathbb{Q}, logo a união também não é.)

Passo 5

Prova de (iii): U é fechado para baixo.
Explicação do raciocínio: preciso mostrar que se x\in U e y\in\mathbb{Q} com y<x, então y\in U.
Prova formal: seja x\in U. Então, por definição de união, existe \alpha\in A tal que x\in\alpha. Como \alpha é um corte, ele satisfaz (D2): se y<x então y\in\alpha. Portanto y\in\alpha\subset U. Logo U é fechado para baixo.
(Comentário didático: é exatamente a propriedade “fechado para baixo” transferida de cada corte \alpha para a união — se um elemento está em algum dos conjuntos, todos os menores também estão nesse mesmo conjunto, logo também na união.)

Passo 6

Prova do atributo “sem maior elemento” (D3) para U.
Explicação e argumento: queremos provar que todo x\in U não é máximo: existe z\in U com x<z.
Seja x\in U. Então existe \alpha\in A com x\in\alpha. Como \alpha é corte, por (D3) existe z\in\alpha tal que x<z. Esse mesmo z pertence a U (pois \alpha\subset U). Logo para cada x\in U existe z\in U com x<z. Assim U não tem maior elemento.
(Resumo: a propriedade “sem máximo” passa de cada \alpha para a união pelo mesmo argumento que usámos antes.)

Passo 7

Prova de (iv): U é uma cota superior para A, ou seja
\forall \alpha\in A,\quad \alpha\subset U.
Explicação e argumento: isto é quase pela definição de união. Se \alpha\in A e x\in\alpha, então, por definição da união, x\in\bigcup_{\beta\in A}\beta=U. Portanto \alpha\subset U para todo \alpha\in A. Logo U é uma cota superior de A.
(Em palavras: a união contém todos os elementos de cada membro de A, logo contém cada conjunto \alpha inteiro.)

Passo 8

Prova de (v): se V é qualquer cota superior de A (ou seja, \forall\alpha\in A,\\ \alpha\subset V), então U\subset V.
Explicação e argumento: suponha V satisfaz \forall\alpha\in A,\\ \alpha\subset V. Seja x\in U. Então existe \alpha\in A com x\in\alpha. Como \alpha\subset V, temos x\in V. Assim todo x\in U pertence a V, logo U\subset V.
(Comentário: isto é a propriedade universal da união: se todos os conjuntos que se unem estão dentro de V, então a união inteira também está.)

Passo 9

Conclusão (vi): U é a menor cota superior de A e, portanto, o supremo de A.
Síntese dos resultados já obtidos:
  • Pelos Passos 3, 4, 5 e 6 mostramos que U satisfaz (D1)–(D3), logo U é um corte.
  • Pelo Passo 7 mostramos que U é uma cota superior de A.
  • Pelo Passo 8 mostramos que qualquer outra cota superior V de A contém U, i.e. U\subset V.
Definição de “menor cota superior” (supremo): um corte S é a menor cota superior de A se S é cota superior e para toda cota superior V de A vale S\subset V. Pelos itens acima U satisfaz essa definição. Logo U é a menor cota superior de A. Denotando S=\sup A, obtemos a forma fechada
\sup A = \bigcup_{\alpha\in A}\alpha.
Única- nessas ordens por inclusão a menor cota superior é única: se existisse outra menor cota superior S', teríamos U\subset S' e S'\subset U, então U=S'. Portanto a supremum é única.
(Encorajamento rápido: portanto sempre que A for conjunto não vazio de cortes e limitado superiormente, a união U é exatamente o supremo de A.)

Resposta

(i) U\neq\varnothing.
(ii) U\neq\mathbb{Q}.
(iii) U é fechado para baixo.
(iv) \forall\alpha\in A,\\ \alpha\subset U (logo U é cota superior de A).
(v) Se V é cota superior de A então U\subset V.
(vi) U é a menor cota superior de A; portanto \displaystyle \sup A=\bigcup_{\alpha\in A}\alpha.

Exercícios relacionados