Exercício 3.[Teorema completude de
] Seja
um conjunto não vazio de cortes e que é limitado superiormente. Denote por
o corte que é cota superior para os cortes de
. Ou seja, para todo
tem-se
. (Veremos que a existência do corte cota superior
será importante para mostrar que a união abaixo não é todo o
.)
Defina o conjunto união
dado por
Mostraremos que
é um corte. Ou seja,
satisfaz os axiomas (D1) - (D3).
(i) Mostre que
(ii) Mostre que
, ou seja,
é um subconjunto próprio de
.
(iii) Mostre que
é fechado para baixo
(iv) Mostre que
é uma cota superior para o conjunto
. Ou seja, para todo corte
tem-se
. superior
, isto é, prove que
(v) Considere
um corte que seja uma cota superior para o conjunto
. Ou seja,
é tal que
Mostre que necessariamente
(vi) Conclua que
é a menor das cotas superiores de
, isto é, o supremo de
na ordem por inclusão. Desta forma, para todo
conjunto de cortes não vazio e limitado superiormente, sempre existe um único corte
tal que
é a menor das cotas superiores para
; Denota-se
e tem-se uma forma fechada para
que é $S=\bigcup_{\alpha \in A} \alpha.
(i) Mostre que
(ii) Mostre que
(iii) Mostre que
(iv) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
-
Informações dadas:
-
é um conjunto não vazio de cortes (cada elemento de é um subconjunto de que satisfaz os axiomas de corte). -
é limitado superiormente: existe um corte tal que (Isto significa que é uma cota superior de .) - Define-se
-
-
O que o exercício pede (itens (i) a (vi)):
(i) Mostrar que.
(ii) Mostrar que(isto é, é um subconjunto próprio de ).
(iii) Mostrar queé fechado para baixo (se e então ).
(iv) Mostrar queé uma cota superior para : .
(v) Mostrar que seé qualquer cota superior de (ou seja, ), então .
(vi) Concluir queé a menor das cotas superiores de , i.e. e existe um único tal corte.
Não vou resolver nada ainda aqui; nos próximos passos vou relembrar a definição de corte e então provar cada item, passo a passo e explicando bem cada argumento.
Passo 2
Relembrando o que é um corte (axiomas (D1)–(D3)) e por que cada axioma importa.
-
Axioma (D1): Um corte é um subconjunto
que é não vazio e próprio, isto é, Significado: um corte não é vazio e não é o conjunto inteiro dos racionais. -
Axioma (D2):
é fechado para baixo: Significado: se um racional está no corte, então todos os racionais menores também estão. -
Axioma (D3):
não tem maior elemento: Significado: para cada elemento do corte existe outro maior ainda no corte (não há máximo).
Nosso objetivo é mostrar que
satisfaz (D1)–(D3) (isso prova que
é um corte) e depois provar as propriedades de cota superior e minimalidade pedidas. Em cada passo vou usar explicitamente um axioma de cortes quando o uso for necessário.
Passo 3
Prova de (i):
.
Explicação e argumento: como
é não vazio, escolha um corte
. Pelo axioma (D1) dos cortes,
, então existe algum
. Pela definição da união,
Logo
contém pelo menos um racional, portanto
.
(Retomando em palavras: a união de conjuntos não vazia contém algo porque já existe pelo menos um conjunto em
que contém um racional.)
Passo 4
Prova de (ii):
.
Explicação e argumento: usamos a hipótese de existência da cota superior
. Por hipótese sabemos que para todo
vale
. Então a união de todos os
fica contida em
:
Como
é um corte, ele satisfaz (D1), em particular
. Portanto existe algum racional
tal que
. Tal
não pode estar em nenhum
(pois cada
), então
. Assim
.
(Em poucas palavras: a união está contida em
, e
não é todo
, logo a união também não é.)
Passo 5
Prova de (iii):
é fechado para baixo.
Explicação do raciocínio: preciso mostrar que se
e
com
, então
.
Prova formal: seja
. Então, por definição de união, existe
tal que
. Como
é um corte, ele satisfaz (D2): se
então
. Portanto
. Logo
é fechado para baixo.
(Comentário didático: é exatamente a propriedade “fechado para baixo” transferida de cada corte
para a união — se um elemento está em algum dos conjuntos, todos os menores também estão nesse mesmo conjunto, logo também na união.)
Passo 6
Prova do atributo “sem maior elemento” (D3) para
.
Explicação e argumento: queremos provar que todo
não é máximo: existe
com
.
Seja
. Então existe
com
. Como
é corte, por (D3) existe
tal que
. Esse mesmo
pertence a
(pois
). Logo para cada
existe
com
. Assim
não tem maior elemento.
(Resumo: a propriedade “sem máximo” passa de cada
para a união pelo mesmo argumento que usámos antes.)
Passo 7
Prova de (iv):
é uma cota superior para
, ou seja
Explicação e argumento: isto é quase pela definição de união. Se
e
, então, por definição da união,
. Portanto
para todo
. Logo
é uma cota superior de
.
(Em palavras: a união contém todos os elementos de cada membro de
, logo contém cada conjunto
inteiro.)
Passo 8
Prova de (v): se
é qualquer cota superior de
(ou seja,
), então
.
Explicação e argumento: suponha
satisfaz
. Seja
. Então existe
com
. Como
, temos
. Assim todo
pertence a
, logo
.
(Comentário: isto é a propriedade universal da união: se todos os conjuntos que se unem estão dentro de
, então a união inteira também está.)
Passo 9
Conclusão (vi):
é a menor cota superior de
e, portanto, o supremo de
.
Síntese dos resultados já obtidos:
- Pelos Passos 3, 4, 5 e 6 mostramos que
satisfaz (D1)–(D3), logo é um corte. - Pelo Passo 7 mostramos que
é uma cota superior de . - Pelo Passo 8 mostramos que qualquer outra cota superior
de contém , i.e. .
Definição de “menor cota superior” (supremo): um corte
é a menor cota superior de
se
é cota superior e para toda cota superior
de
vale
. Pelos itens acima
satisfaz essa definição. Logo
é a menor cota superior de
. Denotando
, obtemos a forma fechada
Única- nessas ordens por inclusão a menor cota superior é única: se existisse outra menor cota superior
, teríamos
e
, então
. Portanto a supremum é única.
(Encorajamento rápido: portanto sempre que
for conjunto não vazio de cortes e limitado superiormente, a união
é exatamente o supremo de
.)
Resposta
(i)
.
(ii) .
(iii) é fechado para baixo.
(iv) (logo
é cota superior de
).
(v) Se é cota superior de
então
.
(vi) é a menor cota superior de
; portanto
.
(ii)
(iii)
(iv)
(v) Se
(vi)