Exercício 2. Prove que a aplicação
é de fato injetiva. Ou seja, se
(não são números racionais iguais) então os conjunto
e
não são o mesmo. Ou seja, ou existe
, mas
; ou existe
, mas
. Sugestão: considere, sem perda de generalidade, o caso
e mostre que
e existe um número racional
tal que
mas
Passo 1
O enunciado pede para provar que a aplicação
é injetiva. Ou seja, mostrar que se
então
.
Dados relevantes (definição que vamos usar): para cada racional define-se
Dados relevantes (definição que vamos usar): para cada racional
Precisamos provar que, sempre que
, os conjuntos
e
não coincidem. Seguindo a sugestão, vamos assumir, sem perda de generalidade, que
e então mostrar duas coisas concretas:
-
; - existe um racional
tal que e .
Passo 2
Mostrando
.
Tome um elemento arbitrário . Pela definição de
isso significa que
Tome um elemento arbitrário
Como estamos assumindo
, pela transitividade da desigualdade nos racionais (se
e
então
) obtemos
Pela definição de
, a desigualdade
implica
. Como
foi arbitrário em
, concluímos
Passo 3
Construindo um racional
que está entre
e
.
Uma escolha natural é a média aritmética
Uma escolha natural é a média aritmética
Justificativa de que
é racional: a soma de dois números racionais é racional e dividir um racional por
(um inteiro não zero) dá um racional, logo
. Agora verificamos que
está estritamente entre
e
. Calculemos as diferenças:
Como
(porque
), segue que
. Portanto
ou seja
Passo 4
Usando
para distinguir os cortes.
Da desigualdade segue que não é verdade que
; assim
(porque
contém exatamente os racionais menores que
).
Da desigualdade segue que
.
Portanto encontramos um elemento que pertence a
mas não pertence a
.
Da desigualdade
Da desigualdade
Portanto encontramos um elemento
Passo 5
Concluindo a injetividade no caso
.
Reunindo os resultados: já mostramos e também existe
com
. Isso implica que
. Logo, sempre que
os cortes associados são distintos.
Reunindo os resultados: já mostramos
Passo 6
Observação sobre o caso simétrico e conclusão final.
Se, em vez de , tivermos
, basta trocar os papéis de
e
e repetir o argumento anterior para obter
. Se
então claramente
. Portanto a aplicação
é injetiva: valores distintos de
geram cortes distintos.
Se, em vez de
Resposta
A aplicação
é injetiva.