Exercício 2. Prove que a aplicação r \longmapsto r^{*} é de fato injetiva. Ou seja, se r_{1} \neq r_{2} (não são números racionais iguais) então os conjunto r_{1}^{*} e r_{2}^{*} não são o mesmo. Ou seja, ou existe a \in r_{1}^{*}, mas a \notin r_{2}^{*}; ou existe a \in r_{2}^{*}, mas a \notin r_{1}^{*}. Sugestão: considere, sem perda de generalidade, o caso r_{1}<r_{2} e mostre que r_{1}^{*} \subset r_{2}^{*} e existe um número racional a tal que a \in r_{2}^{*} mas a \notin r_{1}^{*}

Passo 1

O enunciado pede para provar que a aplicação r \mapsto r^{*} é injetiva. Ou seja, mostrar que se r_{1} \neq r_{2} então r_{1}^{*} \neq r_{2}^{*}.
Dados relevantes (definição que vamos usar): para cada racional r define-se
r^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<r\}.
Precisamos provar que, sempre que r_{1}\neq r_{2}, os conjuntos r_{1}^{*} e r_{2}^{*} não coincidem. Seguindo a sugestão, vamos assumir, sem perda de generalidade, que
r_{1}<r_{2}
e então mostrar duas coisas concretas:
  • r_{1}^{*}\subset r_{2}^{*};
  • existe um racional a tal que a\in r_{2}^{*} e a\notin r_{1}^{*}.

Passo 2

Mostrando r_{1}^{*}\subset r_{2}^{*}.
Tome um elemento arbitrário x\in r_{1}^{*}. Pela definição de r_{1}^{*} isso significa que
x<r_{1}.
Como estamos assumindo r_{1}<r_{2}, pela transitividade da desigualdade nos racionais (se x<r_{1} e r_{1}<r_{2} então x<r_{2}) obtemos
x<r_{2}.
Pela definição de r_{2}^{*}, a desigualdade x<r_{2} implica x\in r_{2}^{*}. Como x foi arbitrário em r_{1}^{*}, concluímos
r_{1}^{*}\subset r_{2}^{*}.

Passo 3

Construindo um racional a que está entre r_{1} e r_{2}.
Uma escolha natural é a média aritmética
a=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}.
Justificativa de que a é racional: a soma de dois números racionais é racional e dividir um racional por 2 (um inteiro não zero) dá um racional, logo a\in\mathbb{Q}. Agora verificamos que a está estritamente entre r_{1} e r_{2}. Calculemos as diferenças:
a-r_{1}=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}-r_{1}=\frac{r_{2}-r_{1}}{2},
r_{2}-a=r_{2}-\frac{r_{1}+r_{2}}{2}=\frac{r_{2}-r_{1}}{2}.
Como r_{2}-r_{1}>0 (porque r_{1}<r_{2}), segue que \dfrac{r_{2}-r_{1}}{2}>0. Portanto
a-r_{1}>0\quad\text{e}\quad r_{2}-a>0,
ou seja
r_{1}<a<r_{2}.

Passo 4

Usando a para distinguir os cortes.
Da desigualdade r_{1}<a segue que não é verdade que a<r_{1}; assim a\notin r_{1}^{*} (porque r_{1}^{*} contém exatamente os racionais menores que r_{1}).
Da desigualdade a<r_{2} segue que a\in r_{2}^{*}.
Portanto encontramos um elemento a que pertence a r_{2}^{*} mas não pertence a r_{1}^{*}.

Passo 5

Concluindo a injetividade no caso r_{1}<r_{2}.
Reunindo os resultados: já mostramos r_{1}^{*}\subset r_{2}^{*} e também existe a\in r_{2}^{*} com a\notin r_{1}^{*}. Isso implica que r_{1}^{*}\neq r_{2}^{*}. Logo, sempre que r_{1}<r_{2} os cortes associados são distintos.

Passo 6

Observação sobre o caso simétrico e conclusão final.
Se, em vez de r_{1}<r_{2}, tivermos r_{2}<r_{1}, basta trocar os papéis de r_{1} e r_{2} e repetir o argumento anterior para obter r_{2}^{*}\neq r_{1}^{*}. Se r_{1}=r_{2} então claramente r_{1}^{*}=r_{2}^{*}. Portanto a aplicação r\mapsto r^{*} é injetiva: valores distintos de r geram cortes distintos.

Resposta

A aplicação r\mapsto r^{*} é injetiva.

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