Exercício 3 Verifique se a série geométrica converge ou diverge. Encontre sua soma, caso convirja. \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{4^{n}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{4^{n}}\right)
converge ou diverge e, caso convirja, encontrar sua soma.
Informações dadas e relevantes: a soma é indexada por n=0,1,2,\dots e o termo geral é \frac{5}{4^{n}}.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral de forma a reconhecer a estrutura da série. Note que
\frac{5}{4^{n}} = 5\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.
Aqui é útil conhecer o que é uma série geométrica: uma série da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}
tem como primeiro termo a (quando n=0) e razão r. No nosso caso, lendo a expressão acima, identificamos
a = 5 \quad\text{e}\quad r = \frac{1}{4}.
Explicação do que são a e r: a é o valor do primeiro termo da sequência de soma (quando n=0 o termo é a), e r é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o seguinte (por exemplo, o segundo termo é ar, o terceiro é ar^{2}, etc.).
Passo 3
Agora vou lembrar e demonstrar a fórmula da soma parcial de uma série geométrica (isso é importante para saber quando a série infinita converge e qual é sua soma). Considere a soma parcial até N:
S_{N} = \sum_{n=0}^{N} a r^{n} = a + ar + ar^{2} + \dots + ar^{N}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_{N} = ar + ar^{2} + \dots + ar^{N} + ar^{N+1}.
Subtraindo as duas equações (primeira menos segunda) cancela quase todos os termos:
S_{N} - rS_{N} = a - ar^{N+1}.
Fatorando S_{N} no lado esquerdo e a no direito:
S_{N}(1-r) = a(1 - r^{N+1}).
Desde que r \neq 1, isolamos S_{N}:
S_{N} = \frac{a(1 - r^{N+1})}{1-r}.
Essa é a expressão exata da soma parcial. Para passar da soma parcial para a soma infinita precisamos estudar o comportamento de r^{N+1} quando N\to\infty.
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao nosso caso, substituindo a=5 e r=\frac{1}{4}. A soma parcial até N fica
Para decidir convergência, examinamos o fator \left(\frac{1}{4}\right)^{N+1} quando N\to\infty. Uma propriedade básica é: se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N+1} = 0, porque potências de um número com módulo menor que 1 vão para zero (cada multiplicação por r diminui o valor em termos absolutos). Aqui temos |r|=\left|\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}<1, portanto
Somando alguns termos temos aproximados: 5 + \frac{5}{4} + \frac{5}{16} \approx 6{,}5625, e adicionando mais termos a soma se aproxima de 6{,}666\ldots que é \frac{20}{3}. Isso confirma intuitivamente o valor encontrado.
Passo 8
Resumo pedagógico rápido: identifiquei a série como geométrica porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por \frac{1}{4}; como |r|=\frac{1}{4}<1 ela converge e a fórmula da soma é a/(1-r). Para a prova, memora bem: série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} converge iff |r|<1 e então soma =\dfrac{a}{1-r}.
Resposta
A série converge.
Soma: \displaystyle \frac{20}{3}