Obtenha a equação e esboce a parábola no R^2 sendo dados:
Distância do foco à diretriz 8, diretriz d: y=4, parábola contida na região y<4.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola no R^2 cuja diretriz é a reta
d: y=4
e tal que a distância do foco à diretriz vale 8, sendo a parábola contida na região y<4. Vamos usar a definição de parábola (pontos equidistantes do foco e da diretriz), encontrar o foco, o vértice, o parâmetro p e, em seguida, a forma canônica.

Passo 2

Seja o foco (h,yF). Como a diretriz é horizontal, a distância do foco à diretriz é
l|yF-4r| = 8
Como a parábola está em y<4, o foco fica abaixo da reta y=4, logo
4 - yF = 8 Longrightarrow yF = -4
Portanto o foco é (h,-4).

Passo 3

A reta eixo de simetria é perpendicular à diretriz, ou seja, vertical, dada por x=h. O vértice fica no ponto médio entre foco e diretriz ao longo do eixo perpendicular. Em coordenadas y,
yV = yF + 42 = -4 + 42 = 0
Convencionamos escolher h=0 para simplificar (eixo de simetria x=0). Assim o vértice é (0,0).

Passo 4

O parâmetro p é a distância assinada do vértice ao foco ao longo do eixo vertical:
p = yF - yV = -4 - 0 = -4
A forma canônica de uma parábola com vértice em (0,0) e eixo vertical é
x^2 = 4p,y
Substituindo p=-4 obtemos
x^2 = 4cdot(-4),y Longrightarrow x^2 = -16,y

Resposta

Equação da parábola:
x^2 = -16,y
Esboço: vértice em (0,0), abre para baixo ao longo de x^2=-16y, foco em (0,-4) e diretriz y=4.

Exercícios relacionados