Obtenha a equação e esboce a parábola no R^2 sendo dados:
Vértice V=(3,4) e foco F=(10,4).

Passo 1

O enunciado dá o vértice V=(3,4) e o foco F=(10,4) de uma parábola. Vamos usar a definição geométrica de parábola (distância ao foco = distância à diretriz) e a forma canônica para parábola com eixo horizontal e vértice em (h,k):
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
onde p é a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para a direita).

Passo 2

Calculamos a distância do vértice ao foco:
p = |xF - xV| = |10 - 3| = 7
Como xF > xV, a parábola abre para a direita. A diretriz é a reta vertical à esquerda do vértice a uma distância p, ou seja
x = xV - p = 3 - 7 = -4

Passo 3

Substituímos h=3, k=4 e p=7 na forma canônica:
(y - 4)^2 = 4cdot7,(x - 3) = 28,(x - 3)

Passo 4

Opcionalmente, expandindo:
(y - 4)^2 = 28x - 84

Passo 5

Esboço da parábola no plano:
  • Vértice em (3,4).
  • Foco em (10,4).
  • Diretriz x = -4.
  • Eixo de simetria horizontal, reta y=4.
  • A curva abre para a direita, ficando cada vez mais “larga” conforme x cresce.

Resposta

Equação da parábola:
(y - 4)^2 = 28(x - 3)
Esboço: vértice (3,4), foco (10,4), diretriz x=-4, abertura para a direita sobre o eixo y=4.

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