A taxa de variação de uma população P(t) é dada por:
d Pd t=k P
onde k>0 é a taxa de crescimento. Sabendo que P(0)=1000 e k=0.03, encontre:
a) A solução da equação.
b) O tamanho da população após 5 anos.
c) O tempo necessário para a população dobrar.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de crescimento exponencial
dPdt=kP
com k=0,03 e condição inicial P(0)=1000. Vamos usar separação de variáveis para achar a solução geral e depois aplicar P(0)=1000. Em seguida calculamos P(5) e o tempo para dobrar P(t)=2000.

Passo 2

Separe variáveis e integre:
integral 1P,dP = integral k,dt

ln P = kt + C.
Exponenciando,
P(t) = e^kt+C = e^C e^kt
Usando P(0)=1000 implica e^C=1000. Logo
P(t)=1000,e^0,03t

Passo 3

Para achar o tamanho após 5 anos, calcule
P(5)=1000,e^0,03cdot5=1000,e^0,15approx1000cdot1,1618=1161,83

Passo 4

Para dobrar a população, impomos P(t)=2000:
2000 =1000,e^0,03t;Longrightarrow;2=e^0,03t;Longrightarrow;ln2=0,03,t
t=ln20,03approx0,69310,03approx23,1 anos

Resposta

a) P(t)=1000,e^0,03t
b) P(5)approx1161,83
c) tdobra=ln20,03approx23,1 anos

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