Exercício 2.1.1. Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotonicidade de cada uma delas.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a sequência abaixo é limitada e monótona, e que descrevamos o tipo de monotonicidade:
com
inteiro positivo (
).
Dados relevantes: a fórmula explícita de cada termo e que
varia em
. A tarefa é provar (i) que existe um limite superior e um limite inferior que valem para todos os termos (limitação) e (ii) se a sequência é crescente ou decrescente (monotonicidade), e se for estrita ou não.
Dados relevantes: a fórmula explícita de cada termo
Passo 2
Definições importantes (explicadinhas):
- Uma sequência
é limitada se existem números reais e tais que, para todo , . Aqui é uma cota inferior e é uma cota superior. Mostrar limitação é achar essas cotas e provar que valem para todo . - Uma sequência é monótona crescente se
para todo (e estritamente crescente se para todo ). É monótona decrescente se para todo (e estritamente decrescente se para todo ).
Vou usar o método mais direto e elementar: primeiro achar cotas simples para todos os; depois calcular a diferença e verificar o sinal (método clássico e fácil de fazer sem calculadora).
Passo 3
Mostrando que a sequência é limitada (cotas).
Para temos
. Assim
Para
Também, como
implica
, segue
Portanto, para todo
vale
ou seja, podemos escolher
e
. Conclusão: a sequência é limitada (está contida no intervalo aberto à esquerda
).
Passo 4
Mostrando a monotonicidade (diferença entre termos consecutivos).
Calculo a diferença passo a passo:
Calculo a diferença
Agora note que, para todo
,
, então
. Logo
Isto mostra que
para todo
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 5
Interpretação final e observação útil para prova:
- Já provamos que todos os termos estão entre
e , então a sequência é limitada. - Já provamos que a diferença entre termos consecutivos é sempre negativa, portanto a sequência é estritamente decrescente.
Um comentário extra (útil em prova): monotonicidade estrita + limitação inferior implica que a sequência converge; aqui é fácil ver o limite: comoquando , segue . Mas isso é complemento — o pedido era apenas limitar e classificar a monotonicidade.
Resposta
A sequência
é limitada:
para todo
.
A sequência é estritamente decrescente: para todo
.
A sequência é estritamente decrescente: