Exercício 2.1.1. Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotonicidade de cada uma delas.
b) x_{n}=1+\frac{1}{3 n}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a sequência abaixo é limitada e monótona, e que descrevamos o tipo de monotonicidade:
x_{n}=1+\frac{1}{3n},
com n inteiro positivo ( n\ge 1).
Dados relevantes: a fórmula explícita de cada termo x_n e que n varia em \mathbb{N}. A tarefa é provar (i) que existe um limite superior e um limite inferior que valem para todos os termos (limitação) e (ii) se a sequência é crescente ou decrescente (monotonicidade), e se for estrita ou não.

Passo 2

Definições importantes (explicadinhas):
  • Uma sequência (x_n) é limitada se existem números reais m e M tais que, para todo n, m \le x_n \le M. Aqui m é uma cota inferior e M é uma cota superior. Mostrar limitação é achar essas cotas e provar que valem para todo n.
  • Uma sequência é monótona crescente se x_{n+1}\ge x_n para todo n (e estritamente crescente se x_{n+1}>x_n para todo n). É monótona decrescente se x_{n+1}\le x_n para todo n (e estritamente decrescente se x_{n+1}<x_n para todo n).
    Vou usar o método mais direto e elementar: primeiro achar cotas simples para todos os x_n; depois calcular a diferença x_{n+1}-x_n e verificar o sinal (método clássico e fácil de fazer sem calculadora).

Passo 3

Mostrando que a sequência é limitada (cotas).
Para n\ge 1 temos \dfrac{1}{3n}>0. Assim
x_n = 1 + \frac{1}{3n} > 1.
Também, como n\ge 1 implica \dfrac{1}{3n}\le \dfrac{1}{3}, segue
x_n = 1 + \frac{1}{3n} \le 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Portanto, para todo n\ge 1 vale
1 < x_n \le \frac{4}{3},
ou seja, podemos escolher m=1 e M=\tfrac{4}{3}. Conclusão: a sequência é limitada (está contida no intervalo aberto à esquerda (1,\tfrac{4}{3}]).

Passo 4

Mostrando a monotonicidade (diferença entre termos consecutivos).
Calculo a diferença x_{n+1}-x_n passo a passo:
x_{n+1}-x_n = \left(1+\frac{1}{3(n+1)}\right)-\left(1+\frac{1}{3n}\right)
= \frac{1}{3(n+1)} - \frac{1}{3n}
= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)
= \frac{1}{3}\left(\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}\right)
= \frac{1}{3}\left(\frac{-1}{n(n+1)}\right)
= -\frac{1}{3\,n(n+1)}.
Agora note que, para todo n\ge 1, n(n+1)>0, então -\dfrac{1}{3\,n(n+1)}<0. Logo
x_{n+1}-x_n < 0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Isto mostra que x_{n+1}<x_n para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 5

Interpretação final e observação útil para prova:
  • Já provamos que todos os termos estão entre 1 e \tfrac{4}{3}, então a sequência é limitada.
  • Já provamos que a diferença entre termos consecutivos é sempre negativa, portanto a sequência é estritamente decrescente.
    Um comentário extra (útil em prova): monotonicidade estrita + limitação inferior implica que a sequência converge; aqui é fácil ver o limite: como \dfrac{1}{3n}\to 0 quando n\to\infty, segue x_n \to 1. Mas isso é complemento — o pedido era apenas limitar e classificar a monotonicidade.

Resposta

A sequência x_{n}=1+\dfrac{1}{3n} é limitada: 1 < x_n \le \dfrac{4}{3} para todo n\ge 1.
A sequência é estritamente decrescente: x_{n+1}<x_n para todo n\ge 1.

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