Exercício 1.1.3. Mostre que
dado por
não tem autovalores reais.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
Queremos mostrar que não existem autovalores reais. Para isso, vamos usar o conceito de autovalor de transformação linear, obter a matriz de
na base canônica, calcular o polinômio característico e verificar suas raízes.
Passo 2
Na base canônica
com
e
, temos
Logo a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico de
é dado por
Passo 4
Resolvendo a equação característica
obtemos
que são números imaginários. Portanto não há soluções reais para
.
Resposta
A transformação
não possui autovalores reais.