Exercício 1.1.3. Mostre que T_{3}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por T_{3}(x, y)=(-y, x) não tem autovalores reais.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T_{3}\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T_{3}(x,y)=(-y,\;x).
Queremos mostrar que não existem autovalores reais. Para isso, vamos usar o conceito de autovalor de transformação linear, obter a matriz de T_{3} na base canônica, calcular o polinômio característico e verificar suas raízes.

Passo 2

Na base canônica \{e_{1},e_{2}\} com e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1), temos
T_{3}(1,0)= (0,1),\quad T_{3}(0,1)=(-1,0).
Logo a matriz de T_{3} é
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[6pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & -1 \\[4pt] 1 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)\,(-\lambda) - (-1)\cdot 1 = \lambda^{2} + 1.]

Passo 4

Resolvendo a equação característica
\lambda^{2} + 1 = 0
obtemos
\lambda^{2} = -1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm\,i,
que são números imaginários. Portanto não há soluções reais para \lambda.

Resposta

A transformação T_{3} não possui autovalores reais.

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