Exercício 6 Mostre que toda equação diferencial separável
g(y) d yd x=f(x)
é também exata.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda equação diferencial separável g(y),dydx=f(x) é também uma equação exata. Vamos usar definição de equação exata e as propriedades de derivadas parciais.

Passo 2

A definição de equação exata diz que uma forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata se e somente se
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 3

Reescrevendo a eq. separável temos
g(y),dy = f(x),dx Longrightarrow f(x),dx - g(y),dy =0
Aqui podemos identificar
M(x,y)=f(x), N(x,y)=-g(y)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=0
Como são iguais, a forma diferencial é exata.

Resposta

Como partial M/partial y=partial N/partial x=0, concluímos que toda equação separável g(y),dy/dx=f(x) é exata.

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