Questão 31. Calcule os seguintes limites (usando as regras de L’Hospital)
(k) lim x infty[xx^2+1]^x

Passo 1

O enunciado pede
L = limxtoinftyl[xx^2+1r]^x
que é uma potência em que a base tende a 0 e o expoente a +infty. Para esses casos a gente costuma tomar o logaritmo, estudar o limite do expoente e depois voltar ao exponencial. Vamos usar também a regra de L\’Hospital quando surgir forma indeterminada.

Passo 2

Definindo
L = limxtoinftyl[xx^2+1r]^x,
vamos olhar para
ln L = limxtoinfty xln!l(xx^2+1r)
Reescrevendo o logaritmo da fração:
ln!l(xx^2+1r) = ln x - ln(x^2+1) = ln x - l[2ln x + ln(1+tfrac1x^2)r] = -ln x - ln!l(1+tfrac1x^2r)
Logo
ln L = xl[-ln x - ln(1+tfrac1x^2)r] = -,xln x ;-; x,ln!l(1+tfrac1x^2r)

Passo 3

Agora analisamos separadamente o segundo termo
T(x)=x,ln!l(1+tfrac1x^2r)
Note que quando xtoinfty temos forma 0cdotinfty, mas podemos escrever
T(x)=ln!l(1+tfrac1x^2r)1/x,
que é 0/0. Aplicando L\’Hospital:
ddxl[ln(1+ x^-2)r] = 11+ x^-2cdot(-2)x^-3 = -2x^3+x, ddxl[1/xr] = -1x^2
Então
limxtoinftyT(x) = limxtoinfty -tfrac2x^3+x-tfrac1x^2 = limxtoinfty2,x^2x^3+x = limxtoinfty2xx^2+1 =0

Passo 4

Voltando para ln L, temos
ln L = -,xln x ;-; T(x)
Como já vimos limxtoinftyT(x)=0 e
limxtoinftyxln x=+infty,
segue
ln L to -infty. Portanto
L = e^ln L to e^-infty = 0

Resposta

0

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