Exercício 6.

(a) Mostre que os zeros da função f(x)=\operatorname{sen}(x) são seus únicos pontos de inflexão.
(b) Dê condições sobre a, b, c e d para que o gráfico de f(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d :
(i) não tenha ponto de inflexão;
(ii) tenha um único ponto de inflexão;
(iii) tenha, exatamente, dois pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos mostrar que, para
f(x)=\operatorname{sen}(x),
os únicos pontos de inflexão são os zeros de f. Isso envolve calcular as derivadas até a segunda, achar onde f''(x)=0 e verificar mudança de concavidade.
Na (b), com
f(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d,
precisamos dar condições em a,b,c,d para que o gráfico tenha 0, 1 ou 2 pontos de inflexão. Aqui só importa f''(x), que é uma quadrática em x.

Passo 2

Para f(x)=\operatorname{sen}(x) temos
f'(x)=\cos(x),
f''(x)=-\operatorname{sen}(x).
Logo os pontos candidatos de inflexão satisfazem
f''(x)=0\;\Longrightarrow\;\operatorname{sen}(x)=0\;\Longrightarrow\;x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora checamos a mudança de concavidade em x=k\pi. Se x passa de um pouco menor que k\pi para um pouco maior, \operatorname{sen}(x) muda de sinal, então -\operatorname{sen}(x)=f''(x) também muda de sinal. Assim cada x=k\pi é realmente ponto de inflexão, e não há outro.

Passo 4

Para f(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d calculamos
f'(x)=4x^{3}+3a x^{2}+2b x+c,
f''(x)=12x^{2}+6a x+2b.
Dividindo por 2 dá a quadrática
6x^{2}+3a x+b=0.
Sejam suas raízes \;x_1,x_2. O discriminante é
\Delta = (3a)^{2}-4\cdot6\cdot b =9a^{2}-24b.

Passo 5

O número de pontos de inflexão corresponde ao número de raízes reais de f''(x)=0, pois cada raiz simples muda o sinal de f''. Logo:
(i) Se \Delta<0, não há raízes reais e não há ponto de inflexão.
(ii) Se \Delta=0, há raiz real dupla mas não muda de sinal em torno dela, ficando uma inflexão estacionária — na prática conta-se um único ponto onde f''=0.
(iii) Se \Delta>0, há duas raízes reais simples, e em cada uma muda a concavidade, dando exatamente dois pontos de inflexão.

Resposta

(i) Não ter ponto de inflexão
9a^{2}-24b<0.
(ii) Ter um único ponto de inflexão
9a^{2}-24b=0.
(iii) Ter exatamente dois pontos de inflexão
9a^{2}-24b>0.

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