Exercício 6.
(a) Mostre que os zeros da função
são seus únicos pontos de inflexão.
(b) Dê condições sobre
e d para que o gráfico de
:
(i) não tenha ponto de inflexão;
(ii) tenha um único ponto de inflexão;
(iii) tenha, exatamente, dois pontos de inflexão.
(b) Dê condições sobre
(i) não tenha ponto de inflexão;
(ii) tenha um único ponto de inflexão;
(iii) tenha, exatamente, dois pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos mostrar que, para
os únicos pontos de inflexão são os zeros de
. Isso envolve calcular as derivadas até a segunda, achar onde
e verificar mudança de concavidade.
Na (b), com
Na (b), com
precisamos dar condições em
para que o gráfico tenha 0, 1 ou 2 pontos de inflexão. Aqui só importa
, que é uma quadrática em
.
Passo 2
Para
temos
Logo os pontos candidatos de inflexão satisfazem
Passo 3
Agora checamos a mudança de concavidade em
. Se
passa de um pouco menor que
para um pouco maior,
muda de sinal, então
também muda de sinal. Assim cada
é realmente ponto de inflexão, e não há outro.
Passo 4
Para
calculamos
Dividindo por 2 dá a quadrática
Sejam suas raízes
. O discriminante é
Passo 5
O número de pontos de inflexão corresponde ao número de raízes reais de
, pois cada raiz simples muda o sinal de
. Logo:
(i) Se , não há raízes reais e não há ponto de inflexão.
(ii) Se , há raiz real dupla mas não muda de sinal em torno dela, ficando uma inflexão estacionária — na prática conta-se um único ponto onde
.
(iii) Se , há duas raízes reais simples, e em cada uma muda a concavidade, dando exatamente dois pontos de inflexão.
(i) Se
(ii) Se
(iii) Se
Resposta
(i) Não ter ponto de inflexão
(ii) Ter um único ponto de inflexão
(iii) Ter exatamente dois pontos de inflexão