Exercício 4.3. Mostre que, para todo x \in(-1,1), tem-se
\operatorname{arcsen} x=x+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x\in(-1,1),
\arcsin x = x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\;\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
O conteúdo envolvido é desenvolvimento em série de potências, usando o Teorema do Binômio generalizado e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Também sabemos que, para |u|<1, vale a expansão binomial
(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty \binom{-\tfrac12}{n}(-u)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\tfrac12)(-\tfrac12-1)\cdots(-\tfrac12-n+1)}{n!}(-1)^n u^n.

Passo 3

Simplificando o coeficiente binomial e trocando u=x^2, obtemos
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n}\,x^{2n}.
Note que
\frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n} =\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)},
pois (2n)!/(n!\,2^n)=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) e n!\,2^n=2\cdot4\cdot6\cdots(2n).

Passo 4

Agora integremos termo a termo de 0 a x:
\arcsin x = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n}\,t^{2n}\,dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
No termo n=0 aparece \frac{(0)!}{(0)!^2\,4^0}\frac{x^1}{1}=x. Separando esse termo, para n\ge1 ficamos com
\arcsin x = x + \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 5

Substituindo
\frac{(2n)!}{(n!)^2\,4^n} =\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)},
chegamos exatamente à forma pedida:
\arcsin x = x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\;\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Resposta

Para todo x\in(-1,1),
\arcsin x = x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\;\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

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