Exercício 4.3. Mostre que, para todo
, tem-se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
O conteúdo envolvido é desenvolvimento em série de potências, usando o Teorema do Binômio generalizado e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos lembrando que
Também sabemos que, para
, vale a expansão binomial
Passo 3
Simplificando o coeficiente binomial e trocando
, obtemos
Note que
pois
e
.
Passo 4
Agora integremos termo a termo de
a
:
No termo
aparece
. Separando esse termo, para
ficamos com
Passo 5
Substituindo
chegamos exatamente à forma pedida:
Resposta
Para todo
,