Exercício 5.4. Use série de potências para aproximar o valor de \int_{1 / 2}^{1} \frac{\operatorname{sen} x}{x} d x com erro menor que 1/10000.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{1/2}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx
usando série de potências, de modo que o erro da aproximação seja menor que 10^{-4}. O conteúdo principal aqui é a série de Maclaurin de \operatorname{sen} x e a integração termo a termo de séries.

Passo 2

Começamos com a expansão de Maclaurin de \operatorname{sen} x:
\operatorname{sen} x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Dividindo por x, obtemos a série para \operatorname{sen} x / x:
\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Integramos termo a termo de x=1/2 até x=1:
\int_{1/2}^{1}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\,dx = \frac{1}{(2n+1)!}\int_{1/2}^{1}x^{2n}\,dx = \frac{1}{(2n+1)!}\,\biggl[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\biggr]_{1/2}^{1} = \frac{1 - (1/2)^{2n+1}}{(2n+1)!\,(2n+1)}.
Logo
\int_{1/2}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,b_n, \quad b_n = \frac{1 - (1/2)^{2n+1}}{(2n+1)!\,(2n+1)}.

Passo 4

Pelo critério da série alternada, os b_n são positivos e decrescentes, logo o resto R_N ao truncar após n=N satisfaz
\lvert R_N\rvert\le b_{N+1}. Queremos b_{N+1}<10^{-4}. Calculando alguns termos:
b_0 = \dfrac{1 - 1/2}{1!\cdot1} = 0,5
b_1 = \dfrac{1 - (1/2)^3}{3!\cdot3} = \dfrac{7}{144}\approx0,04861
b_2 = \dfrac{1 - (1/2)^5}{5!\cdot5} = \dfrac{31}{19200}\approx0,0016146
b_3 \approx2{,}8\times10^{-5}<10^{-4}.
Portanto basta truncar em N=2, pois b_3 já garante o erro abaixo de 10^{-4}.

Passo 5

Aproximamos somando os três primeiros termos ( n=0,1,2):
S_2 = b_0 - b_1 + b_2 = 0,5 - 0,04861111 + 0,00161458 \approx 0,45300347.
O erro em módulo é menor que b_3\approx2{,}8\times10^{-5}<10^{-4}.

Resposta

A aproximação da integral é
\int_{1/2}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx \approx 0,4530
com erro menor que 10^{-4}.

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