Exercício 5.4. Use série de potências para aproximar o valor de
com erro menor que 1/10000.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando série de potências, de modo que o erro da aproximação seja menor que
. O conteúdo principal aqui é a série de Maclaurin de
e a integração termo a termo de séries.
Passo 2
Começamos com a expansão de Maclaurin de
:
Dividindo por
, obtemos a série para
:
Passo 3
Integramos termo a termo de
até
:
Logo
Passo 4
Pelo critério da série alternada, os
são positivos e decrescentes, logo o resto
ao truncar após
satisfaz
. Queremos
. Calculando alguns termos:
Portanto basta truncar em
, pois
já garante o erro abaixo de
.
Passo 5
Aproximamos somando os três primeiros termos (
):
O erro em módulo é menor que
.
Resposta
A aproximação da integral é
com erro menor que
.