Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 1(x^2+2 x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite ( epsilon de<a), que existe
limxto1l(x^2+2xr)
Aqui o conteúdo é o limite de um polinômio em um ponto, e vamos precisar da definição: “para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se lvert x-1rvert<de<a, então lvert f(x)-Lrvert<varepsilon”.

Passo 2

Primeiro identificamos o valor L que esperamos para o limite. Como x^2+2x é contínuo, o palpite natural é
L = f(1) = 1^2 + 2cdot1 = 3
Logo queremos provar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
lvert x^2 + 2x - 3rvert < varepsilon sempre que lvert x-1rvert<de<a

Passo 3

Reescrevemos a diferença e fatoramos:
lvert x^2 + 2x - 3rvert = llvert (x-1)(x+3)rrvert = lvert x-1rvert;lvert x+3rvert
Para controlar lvert x+3rvert, escolhemos inicialmente um limite provisório de<a0=1. Então, se lvert x-1rvert<1, temos
-1 < x-1 < 1 Longrightarrow 0 < x < 2 Longrightarrow lvert x+3rvert < 5

Passo 4

Com essa estimativa, sempre que lvert x-1rvert<1 vale
lvert x^2 + 2x - 3rvert <= 5,lvert x-1rvert
Para forçar lvert x^2+2x-3rvert<varepsilon, basta garantir
5,lvert x-1rvert < varepsilon Long<=ftrightarrow lvert x-1rvert < varepsilon5
Então escolhemos
de<a = min!l1,;tfracvarepsilon5r
Assim, se lvert x-1rvert<de<a, então lvert x-1rvert<1 e lvert x-1rvert<varepsilon/5, o que implica
lvert x^2+2x-3rvert <= 5,lvert x-1rvert < 5cdotvarepsilon5 = varepsilon
Isso mostra rigorosamente, pela definição de limite, que
limxto1l(x^2+2xr) = 3

Resposta

limxto1l(x^2+2xr) = 3

Exercícios relacionados