Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite (
–
), que existe
Aqui o conteúdo é o limite de um polinômio em um ponto, e vamos precisar da definição: “para todo
existe
tal que, se
, então
”.
Passo 2
Primeiro identificamos o valor
que esperamos para o limite. Como
é contínuo, o palpite natural é
Logo queremos provar que, para todo
, existe
tal que
Passo 3
Reescrevemos a diferença e fatoramos:
Para controlar
lvert x+3rvert , escolhemos inicialmente um limite provisório
de<a0=1 . Então, se
lvert x-1rvert<1 , temos
Passo 4
Com essa estimativa, sempre que
lvert x-1rvert<1 vale
Para forçar
lvert x^2+2x-3rvert<varepsilon , basta garantir
Então escolhemos
Assim, se
lvert x-1rvert<de<a , então
lvert x-1rvert<1 e
lvert x-1rvert<varepsilon/5 , o que implica
Isso mostra rigorosamente, pela definição de limite, que