Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 2(3 x^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite ( epsilon de<a), que existe
limxto23x^2
e determinar seu valor. Em outras palavras, devemos provar que existe um número L tal que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 com
|x-2|<de<aLongrightarrowl|3x^2-Lr|<varepsilon
Como 3x^2 é contínua e 3cdot2^2=12, esperamos L=12.

Passo 2

Calculemos a diferença entre 3x^2 e 12:
l|3x^2-12r|=3,l|x^2-4r|=3,|x-2|,|x+2|
Para controlar esse produto, precisamos de um limite para |x+2| quando x está perto de 2.

Passo 3

Imponha |x-2|<1. Isso garante
1< x<3Longrightarrow 3< x+2<5Longrightarrow |x+2|<5
Logo, sob |x-2|<1, vale
l|3x^2-12r|<3cdot|x-2|cdot5=15,|x-2|

Passo 4

Queremos 15,|x-2|<varepsilon, ou seja |x-2|<varepsilon/15. Portanto, escolha
de<a=minl1,varepsilon15r
Então, sempre que |x-2|<de<a, temos simultaneamente |x-2|<1 e |x-2|<varepsilon/15, o que implica
l|3x^2-12r|<15,|x-2|<15cdotvarepsilon15=varepsilon
Isso conclui a prova epsilon de<a.

Resposta

limxto23x^2=12

Exercícios relacionados