Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite (
–
), que existe
e determinar seu valor. Em outras palavras, devemos provar que existe um número
tal que, para todo
, existe
com
Como
3x^2 é contínua e
3cdot2^2=12 , esperamos
L=12 .
Passo 2
Calculemos a diferença entre
3x^2 e
12 :
Para controlar esse produto, precisamos de um limite para
|x+2| quando
x está perto de
2 .
Passo 3
Imponha
|x-2|<1 . Isso garante
Logo, sob
|x-2|<1 , vale
Passo 4
Queremos
15,|x-2|<varepsilon , ou seja
|x-2|<varepsilon/15 . Portanto, escolha
Então, sempre que
|x-2|<de<a , temos simultaneamente
|x-2|<1 e
|x-2|<varepsilon/15 , o que implica
Isso conclui a prova
epsilon –
de<a .