Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que
lim x p f(x)-f(p)x-p=L
Calcule
lim h 0 f(p-h)-f(p)h
lim h 0 f(p+h)-f(p-h)h

Passo 1

O enunciado define uma função f em R e um ponto pinR, e supõe que
limxto pf(x)-f(p)x-p=L
que é justamente a definição de derivada em p. Precisamos calcular os limites
limhto0f(p-h)-f(p)h
e
limhto0f(p+h)-f(p-h)h,

Passo 2

Para o primeiro limite, faça a troca de variável x=p-h. Quando hto0 temos xto p e h=-(x-p). Assim,
f(p-h)-f(p)h =f(x)-f(p)-(x-p) =-f(x)-f(p)x-p
e, passando ao limite xto p, obtemos
limhto0f(p-h)-f(p)h=-L,

Passo 3

Para o segundo limite, observe que
f(p+h)-f(p-h) =[f(p+h)-f(p)]+[f(p)-f(p-h)]
Dividindo por h e reorganizando, vem
f(p+h)-f(p-h)h =f(p+h)-f(p)h-f(p-h)-f(p)h
Ao levar hto0, o primeiro quociente tende a L e o segundo tende a -L, de modo que o resultado final é
L-(-L)=2L

Resposta

limhto0f(p-h)-f(p)h=-L
limhto0f(p+h)-f(p-h)h=2L

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