Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x infty raiz3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite quando xtoinfty, que
limxtoinftyraiz3x+1=+infty
O conteúdo aqui é a definição de limite infinito: dado qualquer M>0, devemos encontrar um N tal que, se x>N, então raiz3x+1>M.

Passo 2

Recordando a definição de limite infinito, dizemos que
limxtoinftyf(x)=+infty
se, e somente se, para todo M>0 existe N>0 tal que, para todo x>N, vale f(x)>M. No nosso caso f(x)=raiz3x+1.

Passo 3

Queremos resolver
raiz3x+1>M
Como a raiz quadrada é crescente em seu domínio positivo, elevamos ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade:
3x+1>M^2 Long<=ftrightarrow x>M^2-13
Basta então escolher
N=M^2-13,
pois para todo x>N teremos 3x+1>M^2 e, consequentemente, raiz3x+1>M.

Passo 4

Mostramos que, dado qualquer M>0, existe N=(M^2-1)/3 tal que x>N implica raiz3x+1>M. Isso é exatamente a definição de
limxtoinftyraiz3x+1=+infty.

Resposta

limxtoinftyraiz3x+1=+infty

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