Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite quando
, que
O conteúdo aqui é a definição de limite infinito: dado qualquer
, devemos encontrar um
tal que, se
, então
.
Passo 2
Recordando a definição de limite infinito, dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que, para todo
, vale
. No nosso caso
.
Passo 3
Queremos resolver
Como a raiz quadrada é crescente em seu domínio positivo, elevamos ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade:
Basta então escolher
pois para todo
teremos
e, consequentemente,
.
Passo 4
Mostramos que, dado qualquer
, existe
tal que
implica
. Isso é exatamente a definição de
.