Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x infty 3 x2 x+1

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x) = 3x2x+1
e queremos mostrar, usando a definição de limite quando xtoinfty, que existe L tal que
limxtoinftyf(x)=L
Pela definição, é preciso encontrar L e mostrar que para todo varepsilon>0 existe M>0 tal que, sempre que x>M, vale
l|f(x)-Lr|<varepsilon

Passo 2

Para conjecturar L, dividimos numerador e denominador por x:
3x2x+1 = 32 + 1/x
Quando xtoinfty, temos 1/xto0, logo o candidato a limite é
L = 32

Passo 3

Calculamos a diferença l|f(x)-Lr|:
gl|3x2x+1 - 32gr| = gl|6x-3(2x+1)2(2x+1)gr| = gl|-34x+2gr| = 34x+2

Passo 4

Para tornar 34x+2<varepsilon, observe que, se x>0, então 4x+2>4x e
34x+2 < 34x
Basta exigir
34x<varepsilon Long<=ftrightarrow x>34varepsilon
Logo, tomando
M = 34varepsilon,
garantimos que, sempre que x>M, valha
l|f(x)-tfrac32r| = 34x+2 < 34x < varepsilon

Passo 5

Pelo critério da definição de limite no infinito, mostramos que para todo varepsilon>0 existe M=tfrac34varepsilon tal que x>M implica l|f(x)-tfrac32r|<varepsilon. Portanto o limite existe e é igual a tfrac32.

Resposta

limxtoinfty3x2x+1 = 32

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