Questão 1 Considere a função f(x)=raiz3-e^2 x.
a) (0,3 pontos) Determine o domínio de f.
b) (0,3 pontos) Determine os pontos de continuidade de f.
c) (0,4 pontos) Determine a funcão inversa de f.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função f(x) = raiz3 - e^2x e precisamos resolver três partes: determinar o domínio de f , encontrar os pontos de continuidade e descobrir a função inversa de f . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções, propriedades de exponenciais, raízes e inversas. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

a) Determinar o domínio de f
Primeiro, para a função f(x) = raiz3 - e^2x estar definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Isso porque não dá para tirar a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.
Então, temos:
3 - e^2x >= 0
Vamos resolver essa desigualdade:
3 >= e^2x
e^2x <= 3
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para resolver para x :
ln(e^2x) <= ln(3)
2x <= ln(3)
x <= ln(3)2
Então, o domínio de f são todos os números reais x que satisfazem:
x <= ln(3)2

Passo 3

b) Determinar os pontos de continuidade de f
A continuidade de uma função depende da continuidade das suas partes componentes. No caso da f(x) = raiz3 - e^2x :
  1. A função exponencial e^2x é contínua para todo x real.
  2. A função dentro da raiz, 3 - e^2x , também é contínua porque é a diferença de funções contínuas.
  3. A função raiz quadrada raizu é contínua sempre que u >= 0 .
Como já determinamos no passo anterior que 3 - e^2x >= 0 para x <= ln(3)2 , concluímos que f(x) é contínua para todos os x nesse intervalo. Portanto, os pontos de continuidade de f são todos os x tais que:
x <= ln(3)2

Passo 4

c) Determinar a função inversa de f
Para encontrar a função inversa f^-1(y) , vamos seguir os passos para inverter a função original. Começamos substituindo f(x) por y :
y = raiz3 - e^2x
Agora, vamos resolver essa equação para x :
  1. Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
y^2 = 3 - e^2x
  1. Isolar e^2x :
e^2x = 3 - y^2
  1. Aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para resolver para x :
ln(e^2x) = ln(3 - y^2)
2x = ln(3 - y^2)
  1. Dividir por 2:
x = 12 ln(3 - y^2)
Portanto, a função inversa de f é:
f^-1(y) = 12 ln(3 - y^2)

Resposta

A função inversa de f(x) = raiz3 - e^2x é:
f^-1(y) = 12 ln(3 - y^2)

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