Questão 1 Considere a função
.
a)
pontos) Determine o domínio de
.
b)
pontos) Determine os pontos de continuidade de
.
c)
pontos) Determine a funcão inversa de
.
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função
e precisamos resolver três partes: determinar o domínio de
, encontrar os pontos de continuidade e descobrir a função inversa de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções, propriedades de exponenciais, raízes e inversas. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
a) Determinar o domínio de
Primeiro, para a função
estar definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Isso porque não dá para tirar a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.
Então, temos:
Vamos resolver essa desigualdade:
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para resolver para
:
Então, o domínio de
são todos os números reais
que satisfazem:
Passo 3
b) Determinar os pontos de continuidade de
A continuidade de uma função depende da continuidade das suas partes componentes. No caso da
:
- A função exponencial
é contínua para todo real. - A função dentro da raiz,
, também é contínua porque é a diferença de funções contínuas. - A função raiz quadrada
é contínua sempre que .
Como já determinamos no passo anterior que
para
, concluímos que
é contínua para todos os
nesse intervalo. Portanto, os pontos de continuidade de
são todos os
tais que:
Passo 4
c) Determinar a função inversa de
Para encontrar a função inversa
, vamos seguir os passos para inverter a função original. Começamos substituindo
por
:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
- Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
- Isolar
:
- Aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para resolver para
:
- Dividir por 2:
Portanto, a função inversa de
é:
Resposta
A função inversa de
é: